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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Punkte P,Q und R auf einer Geraden liegen. Welcher der drei Punkte liegt zwischen den beiden Punkten? Begründen Sie.

a) P(-4|2|-2), Q(-6|-2|2), R(-1|8|-8)

b) P(-15|12|-20), Q(9|-20|-4), R(0|-8|-10)


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll ohne einer vorgegebenen Gerade, hoffe mir kann da jemand weiter helfen.

Danke schon mal im Voraus :D

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Beste Antwort
ohne einer vorgegebenen Gerade

Mach eine Gerade:

        \(g: \vec x = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\).

Prüfe ob \(R\) auf dieser Geraden liegt.

Falls \(R\) auf der Geraden liegt, dann liegt

  • \(R\) zwischen \(P\) und \(Q\) falls \(0 < r < 1\) ist,
  • \(P\) zwischen \(R\) und \(Q\) falls \(r < 0\) ist,
  • \(Q\) zwischen \(P\) und \(R\) falls \(r > 1\) ist,
Avatar von 105 k 🚀
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Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll ohne einer vorgegebenen Gerade,

Es ist Bestandteil der Aufgabe, dass du das selbst machen musst.

Stelle die Gleichung der Gerade durch P und Q auf.

Dann teste, ob R darauf liegt,

Avatar von 53 k 🚀

Achso, ich verstehe aber wie finde ich dann heraus welche der drei Punkte in der Mitte liegt?

Danke für die schnelle Antwort :)

Lies die Antwort von Oswald.

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Man braucht nicht unbedingt eine Gerade aufstellen


a) P(-4|2|-2), Q(-6|-2|2), R(-1|8|-8)

Stelle die Richtungsvektoren auf

PQ = Q - P = [-2, -4, 4]

PR = R - P = [3, 6, -6] = -3/2 * PQ → P liegt hier also zwischen Q und R


b) P(-15|12|-20), Q(9|-20|-4), R(0|-8|-10)

PQ = [24, -32, 16]

PR = [15, -20, 10] = 5/8 * PQ → R liegt zwischen P und Q

Avatar von 477 k 🚀

P liegt hier also zwischen Q und R

folgt auch einfach daraus, dass von den drei y-Werten der von Q (nämlich -2) am kleinsten und der von R (nämlich 8) am größten ist.

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