Randpunkte, isolierte Punkte... am Beispiel (0,1)∪[2,3) benennen

Question

Ich versuche mir gerade an folgendem Beispiel nochmal die ganzen topologischen Grundbegriffe klar zu machen, aber leider vermische ich immer noch die Definitionen.

Das Beispiel lautet: (0,1)∪[2,3).

Häufungspunkte? [0,3]

isolierte Punkte? ex. nicht

Randpunkte? 0,3

innere Punkte? 2

Abschluss? (0,3)

Ich habe mal meine Überlegungen drangeschrieben, bitte korrigiert mich.

Comments

Es wäre außerdem super, wenn ihr mir erklären könntet, wie eine reelle Zahlenfolge mit m Häufungspunkten aussieht (m natürl. Zahl).

Ich hatte mir überlegt, dass vielleicht so aufzubauen:

a(1) = 1

a(2) = 1, 2

a(3) = 1, 2, 3

.... a(m) = 1,..., m

Aber ich glaube, dass ich mir das wohl zu einfach damit mache bzw. die Definitionen wieder nicht richtig anwende.

Answer 1

Es gibt noch mehr Randpunkte: 0, 1, 2, 3.

Die inneren Punkte einer Menge sind die Menge selbst ohne die Randpunkte.

Der Abschluss ist dann die Vereinigung der inneren und der Randpunkte.

Und die Häufungspunkte stimmen auch nicht.

Comments

Heißt das dann, dass die Menge keine inneren Punkte besitzt? Also die leere Menge?

Dann wäre der Abschluss {0,1,2,3}∪{∅} ?

Ich habe mir die Häufungspunkte immer als Grenzwerte der Teilfolgen gemerkt, aber das kann ich ja nicht auf die Menge übertragen....

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Doch, die Menge besitzt innere Punkte.

Was ist denn \(\left((0,1)\cup [2,3)\right)\setminus \{0,1,2,3\}\)?

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Das sind alle Punkte von 0 bis 3, jedoch ohne 0,1,2,3

Also ist 1,5 bspw ein innerer Punkt.

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Nein. Die Punkte in \([1,2)\) sind gar nicht in \((0,1)\cup [2,3)\) enthalten.

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Stimmt... Das Thema macht mich noch verrückt.

Also ich habe quasi alle Punkte zwischen 0 und 1 und zwischen 2 und 3 und die 2. Wenn ich dann die 0 rausnehme ändert sich nichts an der Menge, weil die 0 ja gar nicht drin liegt. Bei 1 und 3 ist das genauso und die 2 fällt raus aus der Menge. Heißt das dann, dass (0,1)∪(2,3) die inneren Punkte sind?

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Ja, ist richtig.