Zeigen Sie, dass die komplementäre Matrix ebenfalls regulär ist .

Question

Sei A ∈ K_n,n eine reguläre Matrix. Zeigen Sie : Die zu A komplementäre matrix *A ist ebenfalls regulär, und gilt:

A^-1 = (1/det A)A = *A^-1 

Dabei bezeichnet *A^-1 die komplementäre Menge Matrix von A^-1

Answer 1

Hi,
ich geh davon aus, dass Du mit der komplementären Matrix die adjungierte Matrix meinst. Du hast ja geschrieben das als bekannt vorausgesetzt werden kann
$$ (1)\quad A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A) $$
Um zu beweisen das die adjungierte Matrix regulär ist, zeigt man, dass \( det\left[adj(A)\right]\ne 0 \) gilt.
Aus (1) folgt
$$ (2)\quad det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)^n}\cdot det(adj(A)) $$ und daraus folgt $$ det(adj(A))=det(A)^{n-1}\ne 0 $$ Damit ist die adjungierte invertierbar.

Beim Rest ist etwas durcheinander gekommen. Aus (1) folgt
$$ (3)\quad (adj(A))^{-1}=\frac{1}{det(A)}A=\frac{1}{det(A)} \left(A^{-1}\right)^{-1}=adj\left(A^{-1}\right) $$

Meintest Du das?