Wahrscheinlichkeit, dass Apfelsinen verdorben oder in Ordnung sind.

Question

Von einer großen Ladung Apfelsinen sind 20% verdorben. Es werden 5 Stück entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A: Eine Apfelsine ist verdorben

B: Alle Apfelsinen sind in Ordnung

C: Mindestens sind 2 Apfelsinen verdorben

Wie muss ich hier vorgehen? Ist das eine normale Wahrscheinlichkeitsrechnung oder mit Binomialverteilung oder Binomialkoeffizient?? Oo Und woran erkenn ich, was was ist??

Grüße

Answer 1

Hi Emre :-),

 

es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Binomialverteilung - warum? Weil von einer "großen" Ladung Apfelsinen die Rede ist; in diesem Falle ändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine gute oder verdorbene Apfelsine kaum, wenn man ein paar entnimmt. Anders wäre es natürlich, wenn man nur 20 Apfelsinen oder so hätte.

 

In die Binomialverteilung ist der Binomialkoeffizient natürlich eingebaut :-D

 

Wir haben also die Wahrscheinlichkeit p = 0,2 dafür, dass eine Apfelsine verdorben ist. Die Größe der Stichprobe beträgt n = 5.

 

Nun setzen wir einfach ein:

 

A) (Genau) eine Apfelsine ist verdorben - so interpretiere ich das einmal.

(5 über 1) * 0,2¹ * 0,8⁴ = 5 * 0,2 * 0,8⁴ = 0,4096

B) Alle Apfelsinen sind in Ordnung

(5 über 0) * 0,2⁰ * 0,8⁵ = 1 * 1 * 0,8⁵ = 0,32768

C) Mindestens 2 Apfelsinen sind verdorben

Man könnte jetzt sagen, X ist die Anzahl der verdorbenen Apfelsinen und dann rechnen:

P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + (X = 5)

Viel Aufwand, deshalb rechnen wir

1 - P(X = 1) - P(X = 0)

Und diese Wahrscheinlichkeiten haben wir ja schon oben ausgerechnet :-D

Also

1 - 0,4096 - 0,32768 = 0,26272

 

Du kannst ja zur Übung einmal ausrechnen:

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

P(X = 3)

P(X = 4)

P(X = 5)

Wenn die Summe dieser Einzelwahrscheinlichkeiten ≠ 1 ist, hast Du irgendwo einen Fehler gemacht :-D

 

Lieben Gruß

Andreas

Comments

Hi Andreas :)

vielen Dank für deine Hilfe! Wenn ich das jetzt so sehe dann sieht das eigentlich nicht soo schwierig aus:). 

Ehm soll ich die eine Aufgabe auch so wie Du rechnen, also so: 1 - P(X = 1) - P(X = 0)

oder soll Ich alle einzel ausrechnen und dann immer dazu addieren?:)

hier habe ich mal eine Frage:

(5 über 1) * 0,2¹ * 0,8⁴ = 5 * 0,2 * 0,8⁴ = 0,4096

wieso jetzt 0.8⁴??

naja (1/5)¹ verstehe ich: A: Eine Apfelsine ist verdorben

aber wieso dann noch 0.8⁴

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Was die Hilfe angeht - Du weißt doch:

Immre wieder gern Emre :-D

 

Zu Deiner Frage:

(5 über 1) * 0,2¹ * 0,8⁴ = 5 * 0,2 * 0,8⁴ = 0,4096

Es müssen ja sozusagen zwei Dinge gleichzeitig passieren:

Zum Einen muss genau eine Apfelsine verdorben sein, die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt, wenn wir jetzt einmal die möglichen Reihenfolgen (5 über 1) außer Acht lassen, 0,2, also 0,2¹.

Zum Anderen müssen aber auch die anderen 4 Apfelsinen in Ordnung sein; die Wahrscheinlichkeit, dass eine Apfelsine in Ordnung ist, beträgt 0,8; die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Apfelsinen in Ordnung sind, beträgt demnach 0,8², weil sich die Wahrscheinlichkeiten wegen der großen Anzahl von Apfelsinen bei Entnahme einer Apfelsine kaum ändern - siehe meine Antwort. Entsprechend beträgt die W. für 3 gute Apfelsinen 0,8³ und die W. für 4 gute Apfelsinen 0,8⁴.

 

Kleine Eselsbrücke: Die Summe der Exponenten, also hier 0,2¹ und 0,8⁴ muss immer der Größe der Stichprobe entsprechen, hier also 5 :-)

 

"Ehm soll ich die eine Aufgabe auch so wie Du rechnen, also so: 1 - P(X = 1) - P(X = 0)

oder soll Ich alle einzel ausrechnen und dann immer dazu addieren?:)"

Rechne am besten erst einmal alle einzeln aus und addiere sie dann auf. Tricks wie 1 - ... kannst Du Dir später aneignen.

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Haha ja das weiß ich:) !:)

Und danke für deine tollen Erklärungen!!:)

Auch diese Wahrscheintlichkeitsrechnung werde ich langsam verstehen:D


Ich rechne die eine Aufgabe Heute noch aus. Ich muss aber leider noch was anderes machen:) Ich mache die aber heute noch:)

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Lass Dir Zeit - in der Ruhe liegt die Kraft :-)

Bei eventuell Rückfragen helfe ich Dir natürlich immer gern, wenn ich kann!

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Genau:)

Und ja ich meld mich dann:) Danke:)

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Kein Ding :-D