Doppelsumme auf (absolute) Konvergenz prüfen und GW angeben. ∑ m^{-n} über n und m summieren.

Question

wie untersuche ich folgende Reihe auf absolute Konvergenz und bestimme den Grenzwert davon?

∑ m^{-n}

\( \sum \limits_{m, n=2}^{\infty} m^{-n} \)

Answer 1

Die Reihe $$\sum_{m=2}^\infty (\sum_{n=2}^\infty m^{-n})= \sum_{m=2}^\infty \frac{1}{(m-1)m}$$ ist absolut konvergent (im Zweifelsfall nach Quot.kriterium). Den Reihenwert erhält man durch Partialbruchzerlegung und eine Teleskopsumme. Nach Umordnungsatz existiert die Doppelsumme mit gleichem Grenzwert.