Berechnen der Werte der Reihe über (2+(-1)^n)/3^n und einer mit Doppelsumme

Question

Berechnen Sie den Wert folgender Reihen:

(i) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{m=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ m\end{array}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+m} \)

(ii) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2+(-1)^{n}}{3^{n}} \)

Answer 1

Erste Reihe:
wegen der Binoialkoeffizienten "riecht" es nach Anwendung des binomischen
Lehrsatzes:$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n{n\choose m}(\frac{1}{2})^{n+m}=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\sum_{m=0}^n{n\choose m}(\frac{1}{2})^m\cdot 1^{n-m}=$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n(\frac{1}{2}+1)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2})^n=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{4})^n=\frac{1}{1-3/4}=4$$

Zweite Reihe:
Auseinanderziehen: $$2\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^n+\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{3})^n=2\cdot\frac{1}{1-1/3}+\frac{1}{1+1/3}=3+3/4$$

Gruß ermanus