Steckbriefaufgabe: Ganzrationale Funktionen 3. Grades: Designerstuhl.

Question

Der Designerstuhl besteht aus einer Sitzfläche und einem Gestell. Er ist 4,5 dm tief und 10,125 dm hoch. Die Seitenansicht des Stuhlgestells hat den Verlauf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

a) Beschreiben Sie, woran Sie erkennen, dass es sich um eine ganzrationale Funktion mindestens 3 . Grades handelt? Begründen Sie Ihre Aussage!

b) Nennen Sie die Nullstellen und beschreiben Sie ihre Besonderheiten!

c) Bestimmen Sie die zugehörige allgemeine Funktionsgleichung \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=a x^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d} \) des Gestells des Designerstuhls.

Benutzen Sie im Weiteren die Funktion \( y=x^{3}-6 x^{2}+9 x \)

d) Für die Befestigung werden drei Bohrlócher benötigt. Fur das erste von links und dem letzen Bohrloch sind die Werte für \( \mathrm{x} \) bekannt. Berechnen Sie die dazugehörigen Werte von y.

Answer 1

a) Eine Funktion n-ten Gerades hat immer maximal n-1 Extremstellen.

Diese Funktion hat 2 Extremstellen, also muss sie mindestens Grad 3 haben.

b) Nullstellen x = 0,5 und x = 3

c) Hier kommt der Hinweis zum Einsatz: Du musst die Nullstellen zu Polynomen machen. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei x = 3 um eine sogenannte (so haben wir das gemacht) "doppelte Nullstelle" handelt, da ein Extrempunkt mit dieser zusammenfällt. Also:

f(x) = a·(x-0)·(x-3)·(x-3)

Um a zu erhalten, setzt du einfach eine Koordinate wie 4,5|10,125 ein:

10,125 = a·(4,5-0)·(4,5-3)·(4,5-3) = a·4,5·1,5² = a·10,125 →a = 1.

Also f(x) = (x-0)·(x-3)·(x-3). Da du es aber in eine allgemeine Funktionsgleichung verwandeln sollst, multiplizierst du die Klammern aus: f(x) = x·(x² - 2·3x + 9) = x³ - 6x² + 9x

d) Hier setzt du einfach 0,5 und 4 in die Funktion ein:

f(0,5) = 0,5³ - 6·0,5² + 9·0,5 = 0,125 - 1,5 + 4,5 = 3,125

f(4) = 4³ - 6·4² + 9·4 = 64 - 96 + 36 = 4.


Wenn du noch Fragen zum Rechenweg hast, kommentiere einfach.

LG Florian

Comments

Wie kommst du auf f(x) = x·(x² - 2·3x + 9)?

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Von (x-0)·(x-3)·(x-3) zu x·(x² - 2·3x + 9) komme ich durch das Anwenden der 2. binomischen Formel auf (x-3)².