Für welche Werte von Parameter t sind Vektoren (t,1,1), (1,t,1) und (1,1,t) linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von \( t \) sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{l}t \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ t\end{array}\right) \) linear unabhängig?

Habe als Ergebnis:

t^2-1=0

also t1=1 und t2=-1

kann das richtig sein?

Comments

Habe als Ergebnis: t^2-1=0

Als Ergebnis von was? Was versuchst du da zu machen? (Anmerkung: Die Determinante der drei Vektoren ist ein Polynom vom Grad 3)

Answer 1

Hast du die Determinante berechnet?

(t 1 1
1 t 1
1 1 t ) = A

Det (A) = t^3 + 1 + 1 - t -t -t = t^3 - 3t + 2
Det(A) = 0 für t = 1.

Weitere Nullstellen?

(t^3 - 3t + 2 ):(t-1) = t^2 + t - 2
-( t^3 - t^2)
----------------
t^2
-(t^2 - t)
----------
-2t
-(-2t +2)
-----------
0+0

t^2 + t - 2 = 0 ?

Diskriminante D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9

t1,2 = 1/2( -1 ± √9)

t1 = 1
t2 = -2

So komme ich zum Resultat:

Die Vektoren sind linear unabhängig für t ∈ R \ {1, -2}

Kontrolle:
Mit t= 1
ergibt sich 3 mal derselbe Vektor. Diese Vektoren sind linear abhängig.
Mit t = -2
ergeben sich 3 Vektoren deren Summe der Nullvektor ist. Sie sind also linear abhängig.