Aufgabe Lineare Unabhängigkeit:
(a) Es seien \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) linear unabhängige Vektoren des \( \mathbb{R}^{3} \) und es sei \( r \in \mathbb{R} \). Begründe, dass dann auch \( \vec{a}, \vec{b}, r \vec{a}+\vec{c} \) linear unabhängig sind.
(b) Jens stellt bei drei von \( \overrightarrow{0} \) verschiedenen Vektoren \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) des \( \mathbb{R}^{3} \) fest, dass \( \vec{b} \) kein Vielfaches von \( \vec{a} \), dass \( \vec{e} \) kein Vielfaches von \( \vec{a} \) und dass \( \vec{c} \) kein Vielfaches von \( \vec{b} \) ist. Daraus schließt er, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Ist dieser Schluss in Ordnung?
(c) Jan will auf die drei Spaltenvektoren der Matrix \( P \) von oben das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden. Berechne den neuen Vektor \( \vec{p}_{2} \), durch den er den zweiten Spaltenvektor \( \vec{p}_{2} \) von \( P \) ersetzt.
