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Lineare Algebra - Leslie Matrix

Forellen im Bach

Wie sich die Forellen in einem Bach entwickeln, wird durch folgendes Modell beschrieben:

- Lediglich aus einem Viertel der Forelleneier entwickeln sich junge Forellen.
- Nach einem Jahr wird von den jungen Forellen nur einer von 25 zu einer erwachsenen Forelle heranwachsen. Die übrigen sterben.
- Nur die Hälfte der erwachsenen Forellen überlebt das zweite Jahr und geht über zu den alten Forellen.
- Forellen werden maximal drei Jahre alt.
- Jede erwachsene Forelle legt 50 Eier, jede alte Forelle 100 Eier.

a) Stellen Sie das Modell für die Forellen in einem Graphen dar.

b) Geben Sie die Lesliematrix F für die Forellen im Bach an und beschreiben und begründen Sie exemplarisch ausgewählte Elemente der Matrix F.

c) Stellen Sie eigenständig die typischen Untersuchungen für die Entwicklung der Population mit Hilfe der Lesliematrix an.

d) Berechnen Sie eine Anfangspopulation, die sich jedes Jahr wiederholt und die zusammen aus 106 jungen, erwachsenen und alten Forellen besteht.

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Du hast folgende Matrix

[0, 0, 50, 100;
0.25, 0, 0, 0;
0, 1/25, 0, 0;
0, 0, 1/2, 0]

Diese Könntest du jetzt auf Fixvektoren, Eigenwerte und Eigenvektoren untersuchen.
Ausserdem könntest du die Grenzmatrix untersuchen. Diese sieht wie folgt aus.

[0.2857142857, 1.142857142, 28.57142857, 28.57142857;
0.07142857142, 0.2857142857, 7.142857142, 7.142857142;
0.002857142857, 0.01142857142, 0.2857142857, 0.2857142857;
0.001428571428, 0.005714285714, 0.1428571428, 0.1428571428]

Du findest einen Fixvektor [200; 50; 2; 1] und natürlich vielfache davon.

 Das doppelte des Fixvektors ist dann die in d) gesuchte Population.
Avatar von 484 k 🚀
Woow vielen dank das mit der matrix hatte ich genauso jedoch auf den fixvektor bin ich irgendwie nicht gekommen, doch jetzt habe ich ja wie sie meinten den Fixvektor [200; 50; 2; 1] muss ich dann als nächstes also bei aufgabe d) das doppelte dieses Fixvektors berechnen? Dort steht ja auch "die sich jedes Jahr wiederholt und aus 106 jungen..." Oder muss ich aus dieser 106 eine population anbringen? :/
und was wäre, wenn nur die Weibchen Eier legen würden ?
Dann müsste man die Anzahl der Eier halbieren. Mann nimmt dann an, dass die Anzahl von männlichen und weiblichen Forellen 50:50 ist.

Dann würde jedoch die Population aussterben.

Wenn du das doppelte des Fixvektors nimmst hast du [400; 100; 4; 2] und somit 100 junge Forellen, 4 Erwachsene Forellen und 2 alte Forellen. Damit haben wir 106 Forellen was gewünscht war.

Du solltest aber den Fixvektor selber übers Gaussverfahren finden oder sogar eine Eigenwertuntersuchung machen.

na da haben wir ja Glück, dass die Männchen auch Eier legen
Ja dann habe ich ja "zusammen 106 jungen, erwachsene une alte Forellen"  aber sie meinen jetzt ich soll mir den fixvektor übers gaussverfahren finden?! Jedoch verstehe ich nun nicht da in der aufgabe steht das ich eine Anfangspopulation berechnen soll

Die Anfangspopulation ist [400; 100; 4; 2]

Also:

400 Eier
100 junge Forellen
4 erwachsene Forellen
2 alte Forellen

Damit reproduziert die Generation sich jedes Jahr und wir haben 106 Forellen.

Ist das eigentlich nicht schädlich wenn Fische inzucht machen. Fällt mir da gerade nur mal so ein.

Ich habe zu der aufgabe c) den eigenwert und den eigenvektor berechnet. Kann man noch auf weitere nullstellen kommen? Mir ist jetzt die frage im kopf geblieben was ich nun mit dem eigenwert und dem eigenvektorerhalte? Wäre sehr nett wenn sie mir nochmals helfen könnten? :/   

Was bedeuten denn Eigenvektoren und Eigenwerte für eine Matrix bzw. für einen Vektor?

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