0 Daumen
358 Aufrufe

Aufgabe:

Für ein gewisses \( \vartheta \in(0, \infty) \) sei \( X \) eine auf dem Intervall \( (0, \vartheta) \) stetig gleichverteilte Grundgesamtheit (mit anderen Worten \( X \sim \mathrm{U}(0, \vartheta) \), wobei der Parameter \( \vartheta \in(0, \infty) \) unbekannt ist) und \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) sei eine zugehörige mathematische Stichprobe (mit \( n \in \mathbb{N} \) ). Zudem sei die folgende Schätzfunktion \( \widehat{\Theta} \) für den Parameter \( \vartheta \in(0, \infty) \) gegeben:

\( \widehat{\Theta} \hat T_{n, \alpha_{n}}:=\alpha_{n} \cdot \min \left\{X_{n}, Y_{n}\right\}, \quad \alpha_{n} \in(0, \infty), \quad Y_{n}:=\left\{\begin{array}{cl} X_{1}, & \text { falls } n=1 \\ \max \left\{X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right\}, & \text { falls } n>1 \end{array}\right. \)

(a) Bestimmen Sie (für \( n \in \mathbb{N} \) ) die Dichtefunktion \( f_{T_{n, \alpha_{n}}} \) der Zufallsgröße \( T_{n, \alpha_{n}} \).

(b) Berechnen Sie \( E_{P}(\widehat{\Theta}), \operatorname{Var}_{P}(\widehat{\Theta}) \) sowie \( \operatorname{MSE}_{P}(\widehat{\Theta}, \vartheta) \).

(c) Ermitteln Sie (für \( n \in \mathbb{N} \) ) jene spezielle Wahl \( \alpha_{n} \) eines Wertes aus \( (0, \infty) \), so dass dadurch \( \widehat{\Theta} \) ein erwartungstreuer Schätzer für \( \vartheta \in(0, \infty) \) wird.

von

1 Antwort

+1 Daumen

Für die Gleichverteilung auf \( (0, \vartheta) \) gilt

\( F(x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x < 0 \\ \frac{x}{\vartheta} \text{ für } 0 \leq x \leq \vartheta \\ 1 \text{ für } \vartheta < x \end{cases} \).

Die Dichtefunktion der Gleichverteilung ist

\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\vartheta} \text{ für } 0 \leq x \leq \vartheta \\ 0 \text{ sonst } \end{cases} \)

Die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße \( T \) ergibt sich aus

\( F_T(x) = P(T \leq x) = P(\alpha_n \min\{X_n, Y_n\} \leq x) \)

\( = 1 - P(\alpha \min\{X_n, Y_n\} > x) \)

\( = 1 - P(\alpha_n X_n > x \land \alpha_n Y_n > x) \)

\( = 1 - P(\alpha_n X_n > x)(\alpha_n Y_n > x) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n Y_n \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n X_1 \leq x \land \dots \land \alpha_n X_{n-1} \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - \prod_{i=1}^{n-1} P(\alpha_n X_i \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n X_i \leq x)^{n-1}) \)

\( = 1 - \left(1 - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)\right)\left(1 - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n-1}\right) \)

\( = F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right) + F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n-1} - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n} \).

Die Dichtefunktion ergibt sich aus

\( f = \frac{dF}{dx} = \begin{cases} 0 \text{ für } x<0 \lor x>\vartheta\alpha_n \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} + \left(\frac{x}{\alpha_n \vartheta}\right)^{n-1} - \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} \right)^n \right) \text{ sonst } \end{cases} \).

Der Erwartungswert des Schätzers ergibt sich nun aus

\( \mathbb{E}[T] = \int x \frac{dF}{dx} dx \)

\( \int_{0}^{\vartheta \alpha_n}\limits \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n-1}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^n}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right) dx \)

\( = \left[ \frac{x^2}{2 \alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n}}{n \left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+1}}{(n+1) \left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right]_{0}^{\vartheta \alpha_n} \)

\( = \vartheta \alpha_n \left( \frac{1}{2} + \frac{n-1}{n} - \frac{n}{n+1} \right) \)

\( = \vartheta \alpha_n \left( \frac{(n-1)(n+2)}{2n(n+1)} \right) \).

Das zweite Moment des Schätzers berechnet sich ähnlich

\( \mathbb{E}[T^2] = \int x^2 \frac{dF}{dx} dx \)

\( \int_{0}^{\vartheta \alpha_n}\limits \left( \frac{x^2}{\alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+1}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right) dx \)

\( = \left[ \frac{x^3}{3 \alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n+2}}{(n+1) \left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+2}}{(n+2) \left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right]_{0}^{\vartheta \alpha_n} \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{n-1}{n+1} - \frac{n}{n+2} \right) \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{(n-1)(n+4)}{3(n+1)(n+2)} \right) \).

Die Varianz des Schätzer ist

\( \mathbb{V}[T] = \mathbb{E}[T^2] - \mathbb{E}[T]^2 \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{(n-1)(n+4)}{3(n+1)(n+2)} -  \left( \frac{(n-1)(n+2)}{2n(n+1)} \right)^2 \right) \)

Die Vereinfachung überlasse ich dem geneigten Leser.

Der MSE ergibt sich aus

\( MSE = \mathbb{E}[(T - \vartheta)^2] \)

oder alternativ aus

\( MSE(T) = b(T)^2 + \mathbb{V}[T] \),

wobei \( b(T) = \mathbb{E}[T] - \vartheta \) der Bias des Schätzers ist.

Damit der Schätzer erwartungstreu ist, muss \( \mathbb{E}[T] = \vartheta \) gelten. Dies ist der Fall, wenn \( \alpha_n = \frac{2n(n+1)}{(n-1)(n+2)} \) gewählt wird.

Mister

von 8,9 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community