Was ist eine Transponierte Matrix, wo T als Exponent auftritt?

Question

Hallo

ich kann unterscheiden, ob es sich um eine 2*2 oder 2*3 oder keine Ahnung was Matrix handelt. Das ist ja nicht schwer. Ich kann auch Matrizen multiplizieren. Aber wow .......was ist denn eine Transpornierte Matrix?

Ich weiß auch, dass irgendwie eine Diagonale entsteht oder sowas

Answer 1

Eine transponierte Matrix enthält die Zeilen der ursprünglichen Matrix als Spalten. Dabei wird die erste Zeile zur ersten Spalte, die zweite Zeile zur zweiten Spalte usw.

Beispiel:

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 7 & 5 & 9 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 5 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Comments

Ahhhhh dann lag ich mit Vektoren doch ganz falsch ^^

Danke JotEs :)

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Ok und was nützt es dann? :)

Die Transposition ist eine Matrizenoperation.

Der vielleicht einfachste Anwendungsfall begegnet einem hier bei Mathelounge.de recht häufig. Es ist hier nämlich nicht so einfach, einen Spaltenvektor als solchen darzustellen, wenn man nicht den Formeleditor nutzen möchte. Man kann aber einen Spaltenvektor als transponierten Zeilenvektor darstellen, indem man schreibt:

v = ( 1 | 3 | 6 ) ^T

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Das heißt also diese Matrixrechnung ist auch bisschen bei analytischer Geometrie mitdabei .... hmmmm muss ich lernen :)

Answer 2

Achtung: Das heisst eine transponierte Matrix.

'transponieren' bedeutet in etwa 'umstellen'

Konkret wird die Matrix an der 1 .Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) gespiegelt.

Answer 3

weisst du schon, was inverse Matrizen sind? Es gibt eine Art von Matrix, sogenannte orthogonale Matrizen, die sind sehr interessant, weil es kinderleicht ist, dort die inverse Matrix zu bestimmen, was ja sonst ziemlich aufwendig ist. Für orthogonale Matrizen gilt nämlich

A * A^T = E, also A^T = A^{-1}

Man muss sie also einfach nur transponieren, um die inverse Matrix zu erhalten.

Es ist z.B.

$$A = \begin{bmatrix}1&0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$$

eine solche orthogonale Matrix. Probiere es mal aus, indem du A transponierst und A * A^T ausrechnest.

Auch z.B.

$$A = \begin{bmatrix}2/3&-2/3&-1/3\\-2/3&-1/3&-2/3\\-1/3&-2/3&2/3\end{bmatrix}$$

oder die Rotationsmatrix (dreht einen Vektor um den Winkel Alpha, wenn man sie mit diesem multipliziert)

$$A_\alpha = \begin{bmatrix} cos(\alpha)& sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{bmatrix}$$

Das mal zu einer Anwendung vom Transponieren, was einem ja so erstmal ziemlich unnötig vorkommt ;)

Comments

Hi Thilo :)

ja jetzt gerade schon so bisschen. Lese gerade etwas über Inverse Matrizen und bis jetzt ist das so bisschen klar.

Naja

A^T= da kommt doch das selbe raus wie bei Dir oder nicht?

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Ja, die Matrix ist symmetrisch, daher ist auch A = A^T. Tut dem Ganzen aber nichts, A * A^T = E trotzdem ^^ Die Rotationsmatrix ist nicht symmetrisch.

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Ahso :)

ich werde mal paar Aufgaben dazu machen :)