ich sollte einen Beweis führen, das wenn die lineare Abbildung f: Kn -> Km, f(x) = Ax injektiv ist, das genau dann wenn die lineare Abbildung ft: Km -> Kn,
ft(y) = At y, surjektiv ist (At ist die Transponierte von der Matrix A).
Idee: (=>)
Es gilt ja dim(Kern(f)) = 0, also nach Dimensionsformel dann auch dim(Bild(f)) = n.
Also dann die Kette:
n = dim(Bild(f)) = rang(f) = rang(A) = rang(At) = rang(ft) = dim(Bild(ft))
Also das dann Bild(f) und Bild(ft) isomorph sind bzw. gleichdimensional und das dann dim(Bild(ft)) = n ist und wegen der Teilmengeneigenschaft Bild(ft) Teilmenge Kn, dann auch die Gleichheit gilt & somit die Surjektivität für ft.
Die Rückrichtung folgt dann analog, das man da nur von unten startet und das obere folgert.
Ist das richtig?
