Beweisen: Abbildung f ist injektiv gdw Ker(f) = {0}.

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \mathbb{K} \)-Vektorräume über dem Körper \( \mathbb{K} \) und die Abbildung \( f: V \rightarrow W \) linear. Ferner sei \( \left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right\}, n \in \mathbb{N} \) eine Basis von \( V \). Zeigen Sie:

a) Die Abbildung \( f \) ist genau dann injektiv, wenn \( K \operatorname{er}(f)=\{0\} \).

b) Die Abbildung \( f \) ist genau dann injektiv, wenn \( \left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right. \) linear unabhängig in \( W \) ist.

c) Die Abbildung \( f \) ist genau dann surjektiv, wenn \( \left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right. \) ein Erzeugendensystem in \( W \) ist.

Answer 1

Hi,

fangen wir erst mal mit der a) an.

Es ist eine Äquivalenz zu zeigen, also musst du die folgenden zwei Aussagen zeigen:

1) $$f~~injektiv ~\Rightarrow~ \ker(f)=\{0\}$$

2) $$\ker(f)=\{0\}~\Rightarrow~ f~~injektiv ~$$

Kümmern wir uns erst mal um 1). Sei f injektiv, d.h.

$$x,y\in V,~x\neq y~\Rightarrow~f(x)\neq f(y)~.$$

Außerdem ist f linear. Schreibe die Eigenschaften einer linearen Abbildung auf. Nehme nun an, es würde ein

$$z \in \ker(f)$$

mit
$$z\neq0$$

geben. Damit kannst du nun einen Widerspruch erzeugen.

Zu 2).

Sei

$$\ker(f)=\{0\}~.$$

Nehme an, es gibt $$x,y\in V$$ mit $$f(x)=f(y)~.$$

Es folgt $$f(x)-f(y)=0~.$$ Nutze nun aus, dass die Abbildung linear ist. Den Rest des Beweises musst du selber schaffen.