Beweisen: Abbildung f ist injektiv gdw Ker(f) = {0}.

Question

Aufgabe:

Seien $V$ und $W \mathbb{K}$-Vektorräume über dem Körper $\mathbb{K}$ und die Abbildung $f: V \rightarrow W$ linear. Ferner sei $\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right\}, n \in \mathbb{N}$ eine Basis von $V$. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn $K \operatorname{er}(f)=\{0\}$.

b) Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn $\left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right.$ linear unabhängig in $W$ ist.

c) Die Abbildung $f$ ist genau dann surjektiv, wenn $\left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right.$ ein Erzeugendensystem in $W$ ist.

Answer 1

Hi,

fangen wir erst mal mit der a) an.

Es ist eine Äquivalenz zu zeigen, also musst du die folgenden zwei Aussagen zeigen:

1) $$f~~injektiv ~\Rightarrow~ \ker(f)=\{0\}$$

2) $$\ker(f)=\{0\}~\Rightarrow~ f~~injektiv ~$$

Kümmern wir uns erst mal um 1). Sei f injektiv, d.h.

$$x,y\in V,~x\neq y~\Rightarrow~f(x)\neq f(y)~.$$

Außerdem ist f linear. Schreibe die Eigenschaften einer linearen Abbildung auf. Nehme nun an, es würde ein

$$z \in \ker(f)$$

mit
$$z\neq0$$

geben. Damit kannst du nun einen Widerspruch erzeugen.

Zu 2).

Sei

$$\ker(f)=\{0\}~.$$

Nehme an, es gibt $$x,y\in V$$ mit $$f(x)=f(y)~.$$

Es folgt $$f(x)-f(y)=0~.$$ Nutze nun aus, dass die Abbildung linear ist. Den Rest des Beweises musst du selber schaffen.