f ist genau dann surjektiv, wenn folgendes gilt:
Sind g, h : N → L beliebige Abbildungen mit f ist genau dann surjektiv, wenn folgendes gilt: Sind g, h : N → L beliebige Abbildungen mit g ◦ f = h ◦ f, so ist g = h.
Bew: ------------>
Sei f surjektiv und sind g,h Abbildungen mit g ◦ f = h ◦ f
Angenommen, es wäre g ungleich h, dann gäbe es ein y aus N
mit g(y) ungleich h(y).
Da f surjektiv ist
gibt es ein x aus M mit f(x)=y
Dann ist aber g(f(x)) = g(y) und h(f(x)) = h(y)
Wegen g ◦ f = h ◦ f sind die linken Seiten gleich also auch g(y) = h(y)
Für injektiv scheint mir Ähnliches zu gelten mit f ◦ g = f ◦ h statt g ◦ f = h ◦ f
Widerspruch!
umgekehrt (wegen genau dann)
Sind g, h : N → L beliebige Abbildungen mit g ◦ f = h ◦ f, so ist g = h.
und sei f nicht surjektiv, dann gibt es ein y aus N mit y nicht in Bild(f).
Falls nun L mindestens 2 verschiedene Elemente z1 Und z2 hat
(Diese Voraussetzung fehlte nach meinem Gefühl.)
und g ist eine Abbildung von N nach L, dann definiere
h mit h(x) = g(x) für x ungleich y aber h(y) ungleich g(y)
Dann ist g ◦ f = h ◦ f, da g und h nur bei y nicht übereinstimmen
und y als f(x) nicht vorkommt (s.o. f nicht surjektiv).
wegen g ◦ f = h ◦ f muss gelten g=h im Widerspruch
zu g(y) ungleich h(y) s.o.
Für injektiv scheint mir Ähnliches zu gelten nur mit
f◦ g = f ◦ h statt g ◦ f = h ◦ f
