wenn sie nicht identisch wären, würden sie die Bedingung \( A^2 = A \) nicht erfüllen.
Als Beweis genüge ein Gegenbeispiel:
\( A \equiv \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) \)
sei gegeben mit allgemein verschiedenen \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \). Es gilt
\( A^2 = \left( \begin{matrix} a^2 + bc & ac + cd \\ ab + bd & bc + d^2 \end{matrix} \right) \stackrel{!}{=} \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) = A\).
Aus den beiden Matrixecken rechts oben oder links unten folgt:
\( a + d = 1 \).
Nun gilt aber auch \( a + b = 1 \) und folglich
\( b = d \).
Hieraus, also aus \( b + c = d + b = 1 \), folgt wiederum
\( a = c \).
Die Eigenschaft im Gleichgewicht zu sein \( A^2 = A \) erzwingt also zwei gleiche Spalten.
MfG
Mister
