beweisen: Jede Teilmenge von R ist diskret

Question

Wie beweist man:

Jede endliche Teilmenge von ℝ  ist diskret?

Defenition: Eine Teilmenge A von ℝ  heißt diskret, wenn für jedes A∈ A ein ε > 0 existiert mit U_ε (a) ∩ A = {a}

Und was für ein Beispiel gibt es, für eine unendliche diskrete Teilmenge  und für eine undenliche nicht diskrete Teilmenge?

Answer 1

Wir definieren den minimalen Abstand von A als den kleinsten Abstand der Elemente von A: $$d_A=inf \{|x-y| : x,y \in A\} $$. Ist \( d_A>0 \), so ist A diskret mit etwa \( \epsilon=d_A/2\) . Für endliche A ist dies der Fall, da dann inf =min.