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Matrizen, Orthogonalität von Matrix prüfen.
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Untersuchen Sie welcher der Matrizen A, B und C orthogonal sind.
$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
$$C=1/3\begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$
orthogonal
matrix
lineare-algebra
Gefragt
18 Jun 2014
von
Gast
Was ist denn die Def. einer orthogonalen Matrix? nachschlagen und nachrechnen.
Eine Matrix heißt orthogonal, wenn das Produkt mit ihrer transponierten, die Einheitsmatrix ergibt. Aber wie mach ich das denn, bei der 3mal3 Matrix?
Die Def. ist richtig. Kannst du transponieren? Kannst du matrizen multiplizieren? Mehr braucht es nicht.
Ja, du musst einfach A * A^T berechnen und gucken, ob das die Einheitsmatrix ergibt. Wenn ja, ist A eine orthogonale Matrix.
📘 Siehe "Orthogonal" im Wiki
1
Antwort
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$$A=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{pmatrix}$$$$A*{ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 4 } & 0 \\ 0 & \frac { 1 }{ 4 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{pmatrix}\neq E$$
$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$${ B }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$B*B^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E$$
$$C=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$${ C }^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$$C*C^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}*\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 9 } \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=E$$
Also:
Die Matrix A ist nicht orthogonal, während die Matrizen B und C orthogonal sind.
Beantwortet
18 Jun 2014
von
JotEs
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