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Untersuchen Sie welcher der Matrizen A, B und C orthogonal sind.

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}$$

$$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

$$C=1/3\begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$
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Was ist denn die Def. einer orthogonalen Matrix? nachschlagen und nachrechnen.
Eine Matrix heißt orthogonal, wenn das Produkt mit ihrer transponierten, die Einheitsmatrix ergibt. Aber wie mach ich das denn, bei der 3mal3 Matrix?
Die Def. ist richtig. Kannst du transponieren? Kannst du matrizen multiplizieren? Mehr braucht es nicht.
Ja, du musst einfach A * A^T berechnen und gucken, ob das die Einheitsmatrix ergibt. Wenn ja, ist A eine orthogonale Matrix.

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$$A=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}$$$$A*{ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 4 }  & 0 \\ 0 & \frac { 1 }{ 4 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}\neq E$$

$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$${ B }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$B*B^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E$$

$$C=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$${ C }^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$$C*C^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}*\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 9 } \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=E$$

Also:

Die Matrix A ist nicht orthogonal, während die Matrizen B und C orthogonal sind.
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