Matrizen, Orthogonalität von Matrix prüfen.

Question

Untersuchen Sie welcher der Matrizen A, B und C orthogonal sind.

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}$$

$$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

$$C=1/3\begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$

Comments

Was ist denn die Def. einer orthogonalen Matrix? nachschlagen und nachrechnen.

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Eine Matrix heißt orthogonal, wenn das Produkt mit ihrer transponierten, die Einheitsmatrix ergibt. Aber wie mach ich das denn, bei der 3mal3 Matrix?

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Die Def. ist richtig. Kannst du transponieren? Kannst du matrizen multiplizieren? Mehr braucht es nicht.

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Ja, du musst einfach A * A^T berechnen und gucken, ob das die Einheitsmatrix ergibt. Wenn ja, ist A eine orthogonale Matrix.

Answer 1

$$A=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}$$$$A*{ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 4 }  & 0 \\ 0 & \frac { 1 }{ 4 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \end{pmatrix}\neq E$$

$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$${ B }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$B*B^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E$$

$$C=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$${ C }^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$$$C*C^{ T }=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}*\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 9 } \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=E$$

Also:

Die Matrix A ist nicht orthogonal, während die Matrizen B und C orthogonal sind.