AWP einer Differentialgleichung durch Substitution lösen. x'=(1/t)x - 1 -e^{-x/t}, x(1)=0.

Question

AWP einer Differentialgleichung durch Substitution lösen:

$$ x ^ { \prime } = \frac { 1 } { t } x - 1 - e ^ { \frac { - x } { t } } , x ( 1 ) = 0 $$

Diese DGL soll mit Hilfe von Substitution gelöst werden. Leider weiß ich nicht wie ich dies machen soll.

Answer 1

Substituiere Z= x/t

x' = Z - 1 - e^-Z  = g(Z)

Z' = ( g(z) - Z) / t

Z' =  (-1 - e^-z ) / t

dz/dt = (-1 - e^-z ) / t

∫ 1 / (-1 - e^-z)dz = ∫(1/t)dt

Trennung der Variablen durchfuehren, Integralgleichung aufstellen und nach Z auflösen, anschliessend ruecksubst. und nach x auflösen.