Parallelogramm: Zwei Einheitsvektoren schliessen den Winkel 60° ein.

Question

ich komm bei einer aufgabe nicht weiter
Gegeben seien zwei Einheitsvektoren  u und  v, der Winkel zwischen u und  v betrage  60° . Gesucht ist der Flächeninhalt  A eines Parallelogramms, das von den Vektoren  a=u+2v und  b=2u+v aufgespannt wird.

und dann einmal noch mit 30°

Answer 1

Schreibe die Vektoren dreidimensional und lege den Vektor u auf die x-Achse, beginnend am Ursprung. Seine Koordinaten sind dann:

u = ( 1 | 0 | 0 )

Der Vektor v (ebenfalls beginnend im Ursprung, 60° zum Vektor u) hat dann die Koordinaten:

v = ( cos ( 60° ) | sin ( 60 ° ) | 0 ) = ( 0,5 | 0,5 *  √ ( 3 ) | 0 )

Daraus ergibt sich für die Vektoren a und b:

a = u + 2 v = ( 1 | 0 | 0 ) + 2 * ( 0,5 | 0,5 *  √ ( 3 ) | 0 ) = ( 2 | √ ( 3 ) | 0 )

b = 2 u + v = ( 2 | 0 | 0 ) + ( 0,5 | 0,5 *  √ ( 3 ) | 0 ) = ( 2,5 | 0,5 *  √ ( 3 ) | 0 )

Bilde nun das Kreuzprodukt von a und b. Dessen Betrag ist das Volumen des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

a x b = ( 2 | √ ( 3 ) | 0 ) x ( 2,5 | 0,5 *  √ ( 3 ) | 0 )

= ( √ ( 3 ) * 0 - 0 * 0,5 * √ ( 3 ) | 0 * 2,5 - 2 * 0 | 2 * 0,5 * √ ( 3 ) - 2,5 * √ ( 3 ) )

= ( 0 | 0 | - 1,5 * √ ( 3 ) )

 

Das gesuchte Volumen V ist also:

V = | a x b |

= | ( 0 | 0 | - 1,5 * √ ( 3 ) ) |

= 1,5 * √ ( 3 )

≈ 2,598 LE ²