Transposition (i,j). Beweise auf zwei Arten sgn (i,j) = -1

Question

Für 1≤ i < j ≤ n bezeichne (i,j) ∈ Sym_n  die Transposition von i und j. Gib zwei verschiedene Beweise dafür an, dass gilt

sgn (i,j) = -1

Comments

Tipp: Zähle die Anzahl der Fehlstände der zugrunde liegenden Permutation.

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Aber wäre die Anzahl der Fehlstände dann nicht alle ungeraden Zahlen?

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Ein Fehlstand wäre beispielsweise das Paar  (i,j).

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Wäre j,n dann auch einer? Bin mir noch nicht so ganz im klaren, was Fehlstand bedeutet.

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Ein Paar  (p,q)  ist ein Fehlstand, wenn  p < q  und  π(p) > π(q)  gilt, wobei  π  die zugrunde liegende Permutation bezeichnet. Ist die Anzahl der Fehlstände ungerade, ist das Signum gleich  -1.