Monotoniesatz bei lokalen Extremstellen

Question

Besitzt eine dierenzierbare Funktion f einen kritischen Punkt x0 (d.h. es gilt f(x0)=0) und wechselt die Ableitung f'(x0)
das Vorzeichen, so liegt in x0 ein relatives Extremum vor. (VZW in der Ableitung bedeutet Wech-
sel des Monotonieverhaltens von f, Monotoniesatz). Wechselt das Vorzeichen von - nach +, so liegt ein lokales Minimum vor, bei Vorzeichenwechsel von + nach - ein lokales Maximum. Bestimmen Sie auf diese Weise die lokalen Maximal- und Minimalstellen der folgenden Funktionen:

a) g(x) = x*sin(x) + cos(x) - (x²)/4

b) f(x) = x⁵ - 5x³  + 1

Was genau muss ich denn hier überhaupt machen? Einfach ableiten, dann Extremstellen raussuchen und eine Wertetabelle anlegen und gucken, ob  f'(x0) ein anderes Vorzeichen als f(x) besitzt? Verstehe es nicht :/

Answer 1

Das ist etwas schwer zu beantworten.

Worauf dieser Text im "Kaudawelsch"(;)) hinaus will ist folgendes:
Für gewöhnlich rechnet man Extrempunkte ja indem man Ableitung bildet,
Nullstellen ausrechnet, die in die zweite Ableitung einsetzt, und dann schaut ob dieses
einsetzten zu einem Ergebnis kleiner Null(Hochpunkt ) oder zu einem Ergebnis größer Null ist(Tiefpunkt).

Was du hier stattdessen machen sollst, ist den Hoch oder Tiefpunkt durch eine Wertetabelle zu bestimmen,
wie du es schon beschrieben hast.
Es folgt die Erklärung warum man das macht, wenn du nur zu Lösung willst spring zu "Lösung".

Erklärung:
Du weißt ja sicherlich, dass die Ableitung(f'(x)) die Steigung deiner Ursprungsfunktion(f(x)) bestimmt.
Ist die Ableitung an einer bestimmten Stelle kleiner Null, so fällt die Ursprungsfunktion, ist sie dort

größer Null, so steigt sie.  Du hast jetzt deine Extremstelle(sagen wir mal x=2) ausgerechnet und willst wissen ob es ein Hoch oder ein Tiefpunkt ist. Jetzt nimmt man einen Wert in ganz kleinen Abstand vor und nach deiner Extremstelle, zum Beispiel x=1 und x=3. Ist f'(1)<0 weißt du, dass die Ursprungsfunktion an dieser Stelle fällt.

Ist f'(1)>0 weißt du sie steigt.

Im Übrigen weißt du, dass f'(2)=0 ist also, deine Ursprungsfunktion konstant ist(also weder fällt noch steigt).

Wenn du jetzt noch schaust wie sie sich bei x=3 verhält, kannst du deinen Hochpunkt oder Tiefpunkt bestimmen.
Hochpunkt: Die Funktion steigt ist bei der Extremstelle konstant und fällt dann wieder.
Tiefpunkt: Die Funktion fällt zunächst ist bei der Extremstelle konstant und steigt wieder.
Sattelpunkt: Deine Funktion steigt(fällt) ist bei der Extremstelle konstant und steigt(fällt) weiter.
Somit ist dein Lösungsweg:

Lösung:

1.Rechne die Extremstellen aus.

2. Setzte einen Wert kurz vor und kurz nach deiner Extremstelle, in die Ableitung.

3. Bei folgenden Formen hast du folgende Arten von Extremstellen.

"+" Extremstelle "+" => Sattelpunkt

"-" Extremstelle "-"=> Sattelpunkt

"+" Extremstelle "-" => Hochpunkt

"-" Extremstelle "+"=> Tiefpunkt.

Rechne das aus und dann bist du fertig, zeichne dir einen Hochpunkt oder Tiefpunkt noch einmal auf,
um dir zu verdeutlichen warum die Funktion zum Beispiel beim Hochpunkt erst steigt, dann fällt.
Hoffentlich hilft das.

Liebe Grüße

Comments

Vielen lieben Dank für diese wunderbare und ausführliche Erklärung!! Ich habe selten etwas schriftlich so verständlich erklärt bekommen, wirklich gut.

Danke dir nochmals :) Ich kann ja dann mal meine Lösungen heute Abend posten, wenn das ok ist?

---

Klar :) Über einen Daumen würde ich mich sehr freuen. ;)

---

Also, gestern habe ich es nicht mehr geschafft, heute sehen meine Lösung für die b) schon mal so aus:

Meine Extremstellen sind bei 0 und Wurzel 3, dazu hier die Wertetabelle:


x         -1           0             1             Wurzel 2         Wurzel 3             Wurzel 4

f'(x)    -10         0           -10               -10                     0                           20


Demnach würde ich sagen, dass bei x=0 ein Maximum und bei X= Wurzel 3 ein Sattelpunkt vorliegt, oder?

a) kommt gleich auch noch (bzw. später sonst) :)

---

zu b) Überprüfe bitte deine Extremstellen nochmal. Insgesamt gibt es drei, wobei die ersten beiden, die du ausgerechnet hast, stimmen.

Für x = 0 liegt kein Maximum vor. Bitte nochmals prüfen.

Wieso kommst du auf einen Sattelpunkt bei x = √3 ?

---

Ja Bepprich hat tatsächlich Recht.

Überlege dir noch einmal was ich geschrieben hab.

Für Null:

Hier fällt der Graph ist kurz konstant und fällt dann wieder. Was für eine Extremstelle haben wir?

Für Wurzel 3:

Hier fällt der Graph ist kurz konstant und steigt dann wieder, also was für eine Extremstelle?

Mal es dir am besten auf.

Und ja, da hat Bepprich völlig Recht: Sattelpunkte sind KEINE Extremstellen! Ganz wichtig!

---

Oh, hatte -Wurzel 3 noch vergessen und den Rest verbessert. Hatte es mir leider etwas falsch aufgezeichnet.

Dann habe ich aber dennoch bei 0 einen Sattelpunkt, bei Wurzel 3 ein Minimum und bei -Wurzel 3 ein Maximum. Stimmt das so?

---

Das könnte durch aus richtig sein,

habe es gerade nicht nachgerechnet kann Bepprich vielleicht eben machen.

---

Und zur Aufgabe a) hätte ich auch noch eine Frage:

Meine Ableitung ist da g'(x) = x*cox(x) + x/2

Wenn ich das jetzt gleich 0 setze steht bei mir ja Folgendes:

x=0 v. (cos(x) + 1/2) =0

Wie löse ich diese Gleichung denn nach x auf? :S

---

Danke für die Hilfe. Habe es jetzt gerade mal bei Geogebra zur Überprüfung eingegeben und es stimmt sogar° :)

---

Ja. Wolframalpha sagt das ist richtig.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5+-+5%C2%B7x%5E3+%2B+1

---

COS(x) + 1/2 = 0

COS(x) = - 1/2

x = ± ARCCOS(- 1/2) + k·2·pi

z.B. x = 4·pi/3 ∨ x = - 2/3·pi ∨ x = 2/3·pi

---

Naja ganz einfach ;)

Das Problem ist, dass du ein bisschen was über Cosinus wissen müsstest.

Aber erstmal 2 Sachen. Deine Ableitung ist falsch , wenn ich das ausm Kopf richtig beurteile.

1. Du musst bei x*sin(x) die Produktregel anwenden, ganz wichtig.

2. Warum fällt dein cos(x) einfach raus? Das kann man auch einfach zu -sin(x) hinschreiben.

Wenn deine Ableitung richtig wäre wären deine Extremstellen 0 und 120 und das ist eher unwarhscheinlich :D! :)

---

Meine Funktion sieht bei mir abgeleitet so aus:


g'(x) = x*cos(x)+sin(x)*1-sin(x)-(x^2*0-2x*4/4^2) (Produktregel wurde hier angewandt)

Und das ist wiederum x*cos(x)+(x/2)

Ich gebe es mal eben in einem Ableitungsrechner ein

---

Mathecoach: Wie komme ich denn genau auf k*2*pi?

Und kann ich das dann beliebig wählen, weil du z.B. geschrieben hast, das irritiert mich ein wenig?


Staylen: Also der Ableitungsrechner sagt mir, dass meine Ableitung richtig ist :)

---

Ja natürlich tschuldige ;)

Mein Fehler.

---

Habe es jetzt seit Stunden (auch zusammen mit Freunden versucht), aber mir ist absolut nicht klar, wie ich auch x = arccos (-1/2) + 2k*pi komme (ich nehme mal an, k ist aus IN).

Und wie ich da meine Extremstellen angeben soll, oder habe ich dann in dem Falle nur eine einzige?

Bitte nochmals um Hilfe.

---

COS(x) = - 1/2

Viellleicht zeichnest du dir einfach mal 2 Graphen auf. Einmal die Kosinus-Funktion und dann die Konstante-Funktion. Und dann schaust du wo die übereinstimmen.

Und dann versuchst du mal herauszufinden warum ich da k*2*pi schreibe.

Aber zuerst solltest du wirklich nachmals deine Ableitung auf richtigkeit überprüfen. Denn wenn man die falsche Ableitung hat kann das ergebnis nachher nicht richtig werden.