Ableitung: Zeigen sie die Existenz differenzierbarer Umkehrabbildungen f^{-1}. f(x)=e^x+x , x∈ℝ

Question

Zeigen sie die Existenz differenzierbarer Umkehrabbildungen f ^-1 und bestimmen Sie die Ableitungen von

f(x)=e^x+x , x∈ℝ 

g(x)= xⁿ , x>0 ( n∈ℕ)

Answer 1

f(x) = e^x + x

f'(x) = e^x + 1

 

g(x) =x^n

g'(x) = n*x^{n - 1}

 

Wann ist denn die Umkehrabbildung differenzierbar ? Wie erhält man eigentlich den Graphen der Umkehrfunktion wenn man den Graphen der original Funktion hat?

Comments

Eine sehr gute frage.

nächste frage bitte

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@bd22
Ich habe mich auch mit der Frage beschäftigt.
Wurde deine Frage zur Zufriedenheit beantwortet ?
Falls nicht dann bitte wieder melden.
mfg Georg

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Mich würde dies auch interessieren, Georgborn!

Ich weiß, dass f'(x) > 0 sein muss, damit f streng monoton ist. Also liegt Injektivität vor. Aber was bringt mir das? Und wie gehe ich weiter vor?


 :)

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Dann denkt euch eine beliebige Funktion aus und bildet die Umkehrfunktion und zeichnet beide in ein Koordinatensystem. Wenn ihr da noch nichts erkennen könnt macht das für noch eine Funktion usw.
Wenn ihr tatsächlich nicht von alleine drauf kommt dann googelt mal unter Umkehrregel. Aber bitte erst das obige wirklich machen.

Answer 2

Die Frage, die ich mir stelle: Muss ich erst die Ableitung zeigen, und dann sagen,, dass diese > 0 ist, daraus dann folgt, dass f streng monoton ist, oder muss ich Injektivität nachweisen, wobei das ja blödsinnig wäre für diese Funktionen.

Comments

Nein muss man nicht.

f(x) = e^x + x

Was weißt du über die Monotonie von e^x und was weißt du über die Monotonie von x. Kann man daraus etwas über die Monotonie der Summe sagen ?

Besser ist es aber nicht über die monotonie zu gehen sondern über die Steigung, wie wir im folgenden beispiel sehen.

g(x) = x^n

Was weiß man über die Monotonie von x^n ? Oder besser. Gibt es hier Stellen an denen wir eine waagerechte Tangente haben?

Denn zwar ist x^3 bijektiv und streng monoton steigend aber die Umkehrfunktion ist an einer Stelle nicht differenzierbar.

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@mathecoach
" aber die Umkehrfunktion ist an einer Stelle nicht differenzierbar. "
Ich kann die Stelle nicht finden
f ( x ) = x^3
Umkehrfunktion
u ( x ) = e^{ln(x)/3}
u´ ( x ) = e^{ln(x)/3} / ( 3 * x )
Für D = x > 0 dürfte Differenzierbarkeit vorliegen.
mfg Georg

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Wie kamst du auf die Umkehrfunktion. Du müsstest dazu 

y = x^3 

nach x auflösen und dann x und y vertauschen. Deine Umkehrfunktion sieht nicht richtig aus.

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Man kann die Umkehrfunktion auch kürzer schreiben - e und ln () weg

u ( x ) = x^{1/3}

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So wär sie auch richtig. Wie es oben geschrieben stand konnte ich schlecht das richtige rauslesen.

Du bekommst du für die Ableitung

y' = 1/(3·x^{2/3})

Wo ist das jetzt nicht definiert. Eigentlich dort wo der Nenner null wird. Dort hätten wir eine senkrechte Tangente. Die Steigung wäre dort quasi unendlich.

Answer 3

Versuch einer abschließenden Beantwortung der Aufgabe

Zeigen sie die Existenz differenzierbarer Umkehrabbildungen f ^-1 
und bestimmen Sie die Ableitungen von
f(x)=e^x+x , x∈ℝ
g(x)= xⁿ , x>0 ( n∈ℕ)

Die Ableitungen sind leicht und wurden hier auch schon
vorgeführt also bleibt

Zeigen sie die Existenz differenzierbarer Umkehrabbildungen f ^-1

zu .)  g ( x ) = xⁿ , x>0 ( n∈ℕ)
D = ℝ⁺  = W^-1
W = ℝ⁺ = D^-1

Die Umkehrfunktion lautet
g^-1 ( x ) = x^1/3
g^-1 ´ ( x ) = 1 / ( 3·x^2/3 )
Die Ableitung ist für x = 0 nicht definiert.
Der Definitionsbereich wäre D^-1 = ℝ⁺
x = 0  liegt nicht in D^-1.
Ich weiß zwar nicht ob die Diff-barkeit damit komplett
nachgewiesen ist...

zu .) f (x ) = e^x + x , x∈ℝ
Die Umkehrfunktion zu bilden ist mir nicht gelungen.
Dies wäre aber auch nicht unbedingt notwendig.
( siehe Aufgabenstellung )
Gilt : ist die Funktion diffbar ist auch Ihre Umkehrfunktion
diffbar ?

Wer weiß es ?

mfg Georg

 

Comments

Gilt : ist die Funktion diffbar ist auch Ihre Umkehrfunktion 
diffbar ?

So ist das verkehrt.

Die Umkehrfunktion ist an Stellen wo die Originalfunktion eine waagerechte Tangente hat nicht differenzierbar.

 

Warum hast du bei der beantwortung den Definitionsbereich auf R+ eingeschränkt. Das ist meiner Meinung nach gar nicht notwendig. Du müsstest nur die 0 herausnehmen.

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Weil angegeben ist
g ( x ) = xⁿ , x>0 ( n∈ℕ)

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Achso. Dann solltest du die Umkehrfunktion aber auch allgemein machen

Die Umkehrfunktion lautet 
g^-1 ( x ) = x^1/3 
g^-1 ´ ( x ) = 1 / ( 3·x^2/3 ) 

Ich dachte das bezieht sich dann nur auf deine spezielle Funktion.

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Mathecoach, du hast den Überblick.
Gilt generell : ist eine Funktion diffbar und hat keine
Stelle mit waagerechter Tangente so ist
die Umkehrfunktion auch diffbar.

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Ja. So könnte man es formulieren.
Siehe auch --> https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel