Arctan-Reihe: Zeigen Sie sie für x ∈ (-1,1) ...

Question

Zeigen Sie für x ∈ (-1,1) die Identität

$$\arctan { (x) } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n }\frac { { x }^{ 2n+1 } }{ 2n+1 } } .$$

Verfahren Sie dabei wie bei der Herleitung der Logarithmusreihe.

Comments

Und wie seid ihr bei der Herleitung der Logarithmusreihe verfahren? g

Answer 1

$$\arctan x=\int_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int_0^x\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kt^{2k}\right)\mathrm dt$$$$\quad=\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^kt^{2k}\;\mathrm dt=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}.$$