Folgen und Limes , n_0 berechnen

Question

Aufgabe:

Meine Folge ist:  \( a_{n}=\frac{2-n^{2}}{3 n^{2}+n+1} \)

Es sei \( \mathcal{E}=0.01 \)

Man berechne \( n_{0}=(\mathcal{E}) \)

Answer 1

Also, du hast eine Folge a_n gegeben. Nun wollen wir wissen, ab welchem n, also ab welchem Folgeglied, der Abstand zwischen dem Folgeglied und dem Grenzwert kleiner oder gleich 0,01 ist. Du sollst quasi ein n in einer definierten Umgebung bestimmen.

Zunächst ermitteln wir den Grenzwert der Folge a_n:

Hier die höchste Potenz sowohl im Zähler als auch im Nenner ausklammern

-> lim für n gegen oo n²*(2/n² -1 )/(n2*(3 +1/n + 1/n²)) -> -1/3

Um das n0 zu ermittelt, gilt folgende Ausgangsposition

|a_n - Grenzwert| ≤ 0,01

| (2 - n²)/(3*n² +n +1) -(-1/3)| ≤ 0,01

| (2 - n²)/(3*n² +n +1) +1/3| ≤ 0,01

| [3*(2 - n²)+3*n² +n +1]/[3*(3*n² +n +1)]| ≤ 0,01

| [6 - 3n²+3*n² +n +1]/[3*(3*n² +n +1)]| ≤ 0,01

| [7 +n]/[3*(3*n² +n +1)]| ≤ 0,01

| (7 +n) | ≤ 0,01*3*(3*n² +n +1)

...

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt ein n von 16 heraus.

Schauen wir mal, was passiert, wenn ich in die Zahlenfolge n = 16 einsetze:

a₁₆ = (2 - 16²)/(3*16² + 16 + 1) = - 1598/4841 = - 0,32356688

Es muss gelten |a₁₆ - Grenzwert| ≤ 0,01

|- 0,32356688 - (-1/3) | ≈ 0,0097 und das ist kleiner als 0,01 -> ok