Limes von Folgen im Exponenten

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

Für jedes a ≥ 0 ∃ (x_n) n∈N, (y_n)n∈N in ℝ mit

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) y_n = 0,

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (x_n )^yn= a.

Problem/Ansatz:

Ich habe damit angefangen x_n= \( \frac{1}{x} \) = y_n zu definieren.

Jetzt habe ich folgendes:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (\( \frac{1}{x} \))^1/x

Ich weiß nicht, ob ich das so richtig gemacht habe, weil ich nicht weiß, wie ich weiter machen soll.....

Danke für Hilfe :)

Answer 1

Es ergibt sich (ich betrachte von vornerein nur positive Folgen \(x_n\))

\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}\right)^{y_{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp \left(y_{n} \ln \left(x_{n}\right)\right) &=\exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n} \ln \left(x_{n}\right)\right) \stackrel{!}{=} a \\ & \Longrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n} \ln \left(x_{n}\right)=\ln (a) \end{aligned} \)
Aus dieser Bedingung kann man sich intuitiv erschliessen, was mögliche Folgen sind. Eine Möglichkeit wäre z.B.

\(\begin{aligned} x_{n}=\frac{1}{n}, \quad y_{n}=\frac{\ln (a)}{\ln \left(x_{n}\right)} \Longrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=0\end{aligned} \)
und

\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n} \ln \left(x_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (a)}{\ln \left(x_{n}\right)} \ln \left(x_{n}\right)=\ln (a) .\end{aligned} \)