de idempotente Matrix diagonalisierbar?

Question

Hallo:

Eine quadratische Matrix A heißt idempotent,falls A²=A

a) Man bestimme alle Zahlen,die Eigenwert einer idempotenten Matrix sein können, und gebe jeweils eine Beispielmatrix an

b) Man Zeige,dass jede idempotente Matrix diagonalisierbar ist

Zu a)

Habe hier bewiesen, dass die Eigenwerte λ₁=0 und λ₂=1 sind.

Wie mache ich hier eine Beispielmatrix?

Zu b)

Habe dafür schon mehrere Foren durchstöbert, verstehe das jedoch immer noch nicht, hoffe mir kann das jemand erklären.

Comments

Ad b) Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom in Linearfaktoren mit Vielfachheit =1 zerfällt. Dann betrachte mal dieses Minimalpolynom und setz vielleicht mal die Matrix an sich ein. Bedenke auch alle weiteren Eigenschaften (z. B. a) )

Answer 1

Ad a) Am einfachsten wählst du eine Matrix in sogenannter Jordan Normalform A= { 1 0 0 }{ 0 0 0 }{ 0 0 0 } (Zeilen) Diese hat die Eigenwerte 1; 0; 0; Oder du betrachtest mal, wie du die Eigenwerte z. B. einer 2x2 Matrix berechnest und versuchst dann eine passende Matrix mit den gewünschten Eigenwerte zu finden. Danach kannst du dich dann an einer 3x3 probieren.