Bestimmen Sie eine Zahl a so, dass die Matrix idempotent ist

Question

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

"Bestimmen Sie eine Zahl a∈ℝ so, dass die Matrix A = $$\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&a&a\\a&2&a\\a&a&2\end{pmatrix}$$ idempotent ist.

Also ich weiß, dass idempotent bedeutet das A² = A ist. Als Regel gilt, dass wenn A idempotent ist, auch A transponiert idempotent ist. Wenn A idempotent ist, dann auch Einheitsvektor - A.

Hat jemand einen Lösungsansatz für mich? Ich stehe total auf dem Schlauch.

Answer 1

https://www.mathelounge.de/351336/eine-matrix-a-mit-zeilen-und-spalten-heisst-idempotent-wenn

Sagt dir, was idempontent bedeutet.

idempotent bedeutet dass A^2 = A ist

Berechne A^2 und setze das Ergebnis = A.

Dann hast du an jeder Position der Matrizen eine ablesbare Gleichung und kannst dann a bestimmen.

Comments

Einheitsmatrix - A

hast du gemeint?

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Ich habe es probiert, aber komme zu keinem Ergebnis, da ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste. Wo ist mein Fehler?

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Wo ist mein Fehler?

Vor jeder(!) Matrix der rechten Seite steht der Faktor \(\frac13\) macht also $$\frac 13 \cdot \frac13 = \frac19$$ bzw.: $$\frac19 (2a^2+4) = \frac23 \quad \Rightarrow a^2=1, \, a_{1,2}=\pm 1$$ .. überpüfe das Ergebnis noch bei einem zweiten Element, welches nicht auf der Hauptdiagonale steht.

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Vielen lieben Dank für die Hilfe, ich habe es jetzt verstanden :)