Gegeben ist die Relation R={(x,y) Element NxN| es existert z Element N: x*z=y oder x=y*z}

Question

Gegeben sei die Relation

\( R=\left\{(x y) \in N \times N \mid \exists z \in N x^{*} z=y \vee x=y^{*} z\right\} \)

mit N = Menge der natürlichen Zahlen ohne 0.

Ist R:

- reflexiv
- irreflexiv
- symmetrisch
- antisymmetrisch
- asymmetrisch
- transitiv
- eine Äquivalenzrelation
- eine reflexive partielle Ordnung?

Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe so, dass es ein Element gibt in dem x*y=z ODER x=y*z ist. Wenn dies so ist, dann verstehe ich die Aufgabenstellung nciht. Egal was für Zahlen ich für x, y und z einsetze kommt immer was korrektes raus? Wie bestimme ich bei so einer Funktion ob sie reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch oder transitiv ist? Die anderen 2 Fragen sind geschenkt, da ich diese aus den anderen ableiten kann.

Also ich verstehe generell was die ganzen Begriffe oben bedeuten und wie ich herausfinde ob es stimmt, aber bei dieser Gleichung bin ich etwas überfragt wie ich das zu bestimmen habe.

Comments

Ich verstehe die Aufgabe so, dass es ein Element gibt in dem x*y=z ODER x=y*z ist.

Das steht das aber nicht, sondern x*z=y oder x=y*z.

Die Relation enthält also die Paare natürlicher, von Null verschiedener, Zahlen, die (ganzzahlige) Vielfache voneinander sind. Mindestens eine der Zahlen muss also ein Teiler der jeweils anderen Zahl sein.

Answer 1

Die Menge R beinhaltet Paare (x,y) natürlicher Zahlen x,y, wobei für jedes Paar (x,y), das in R enthalten ist, gilt, dass es eine natürliche Zahl z gibt, so dass x*z = y und/oder x = y*z ist.

Zum Verständnis sollte man sich vielleicht als erstes mal ein paar solcher Zahlentupel aufschreiben:

Für x=y=1 ist das Tupel (1,1). 1*z=1 hat die Lösung z = 1, also existiert solch ein natürliches z und damit ist (1,1) in R enthalten.

Für x=y=2 ist das Tupel (2,2). 2*z=2 hat die Lösung z = 1 => \( (2,2) \in R \)

Für x = 2, y = 3 ist das Tupel (2,3). 2*z = 3 hat die Lösung z = 3/2, 2 = 3*z hat die Lösung z = 2/3, also ist (2,3) nicht in R enthalten, weil es kein natürliches z gibt, das 2*z=3 oder 2=3*z erfüllt.

Für x = 2, y = 4 ist das Tupel (2,4). 2*z = 4 hat die Lösung z = 2 => \( (2,4) \in R \).

(1,1), (2,2), (2,4) sind also z.B. in R enthalten, (2,3) aber nicht.


Jetzt muss man die Eigenschaften beweisen.

Z.B. für die Reflexivität: \( \forall x \in \mathbb{N}: (x,x) \in R \)

(1,1) und (2,2) sind ja schonmal in R. Aber auch (3,3), (4,4), ...? Mal gucken, wenn man das einsetzt, auf was man stößt.

Für x = y ist das Tupel (x,x) bzw. (y,y). x*z = x hat die Lösung z = 1. Also existiert für jedes Tupel (x,x) ein natürliches z, so dass x*z=y=x gilt. Somit ist die Reflexivität bewiesen.

Mit den anderen Eigenschaften läuft das ähnlich. Bei manchen Beweisen muss man eventuell etwas kreativer sein.