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Meine Frage ist und zwar:

Bestimmen sie alle Lösungen x der Gleichung x^7 - x =0 in Z/7Z (das Z soll das Zeichen von der Menge der ganzen Zahlen sein)

Vielleicht kann mir jemand eine ausführliche Beschreibung geben ich verstehe es einfach nicht.

Vielen Dank schon mal
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in Z/7Z

Ich lerne ja gern dazu, deswegen wie ist das interpretierbar?

Das ist der Ring, der Zahlen 0,1,2...,6. Und da 7 eine Primzahl ist, ist dieser Ring sogar ein Körper. (nähere Infos bei Wikipedia ;) )

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Beste Antwort

Wenn du gemäss Tag modulo 7 rechnen sollst, machen wir das:

x7 - x =0 in Z/7Z

x(x^6 - 1) = 0 in Z/7Z

Es könnte sein, dass eine solche Gleichung 7  Lösungen hat. Da 7 eine Primzahl ist, vermutlich gleich alle Zahlenklassen von [0] bis [6].

Eine Lösung ist sicher x=0. Also [0]

Nun probieren wir die andern Zahlen bis 6 durch

x=[1| passt.

x=2 ? 2*63 = 0 modulo 7        . x=[2] passt.

x=3? 3 * 728 = 0 modulo 7.       x=[3] passt.

Teste das bitte selbst weiter durch. Danach kannst du melden, ob meine Vermutung (blau) ok war.

Avatar von 162 k 🚀
Deine Vermutung ist korrekt, da $$x^p \text{ modulo } p = x$$ gilt (für p prim) und sich die Gleichung somit zu $$x-x=0$$ vereinfachen lässt.
Ja stimmt :)

Und das wars schon?

D.h. ich klammere immer ein x aus und setzte dann ab 0 die Werte ein?

test

 

test2

 

stimmen dann auch diese 2 aufgaben?

Hi, bei der Z/6Z-Aufgabe kann man nicht ausklammern!

PS: Und bei der Z/8Z-Aufgabe kann man x^3 ausklammern.
Ok dort setze ich dann mein x für x^2 - 3x +2 =0 ein ?
Ja. Zur Vereinfachung kannst Du vorher faktorisieren.

jd13 hat unten noch eine elegantere Lösungsmöglichkeit angegeben.

Aber du bist fertig, wenn du alle möglichen Klassen durchprobiert hast.

x^2 - 3x + 2=0 wäre faktorisiert nach Vieta:

(x-2)(x-1) = 0 modulo 6.

L= {[1], [2],[4],[5]}. (ohne Gewähr)

PdF: Ich vermute, dass LateX nicht umgewandelt wird, wenn du das farbig machst. Frag aber mal bei Kai nach. EDIT: Hat sich offenbar bereits erledigt.

k) x^3 ( x^2 -1) = x^3 (x-1)(x+1)     modulo 8.

L = {[0], [1], [-1], [2],[3], [4],[5], [6]} =  {[0], [1],[2],[3],[4],[5],[6], [7]}    Hast du dich bei der 7 verrechnet?

Hi Lu, bei der mod-6-Gleichung müsste es 4 statt 3 heißen,
denn (4-2)*(4-1) = 2*3 = 6 == 0 mod 6.

Bei der mod-8-Glrichung müssen außer den genanten auch alle geraden Reste Lösungen sein.

jd13: Bei der mod-8-Gleichung müssen außer den genanten auch alle geraden Reste Lösungen sein.

Danke. Klar! die enthalten ja alle den Faktor 2^3 = 8. Ich ergänze das oben noch.

EDIT: Ich ergänze den Rest, den jd13 gefunden hat auch noch. Am besten würde man schon früher mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+%28x-1%29%28x%2B1%29+%3D+0++++modulo+8 schauen, ob man nichts vergessen hat.

Nachtrag zur mod-8-Gleichung: 3 und 5 sind, als ungerade Zahlen n, auch Lösungen,
denn 3^2-1 == 5^2-1 == 7^2-1 == n^2-1 == (n-1)*(n+1) == 0 mod 8.
Zwei benachbarte gerade Zahlen müssen durch 8 teilbar sein.

(Die beiden Zahlen hatte ich selbst vergessen.)
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Bestimmen Sie alle Lösungen x der Gleichung x^7 - x = 0 in Z/7Z.

Es gibt sicher viele Möglichkeiten, diese Aufgabe zu bearbeiten. Eine davon besteht im Einsetzen der sieben infrage kommenden Kandidaten. Dabei lassen sich durch die Wahl günstiger Repräsentanten große Zahlen in der Rechnung sparen, wir wählen { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Da der Term auf der linken Seite offenbar ungerade ist, mussmit +a auch -a eine Lösung sein, es müssen also nur vier Kandidaten überprüft werden.

Eine weitere Möglichkeit, mit dieser Gleichung umzugehen, besteht im Faktorisieren der linken Seite. Zunächst wird ausgeklammert:

x^7 - x = 0 mod 7

x * (x^6 - 1) = 0 mod 7

Eine Nullstelle kann nun abgelesen werden, die anderen lassen sich durch Einsetzen in den rechten Faktor überprüfen, was einfacher ist als in der ursprünglichen Gleichung. Es kann noch weiter faktorisiert werden:

x * (x^3 - 1) * (x^3 + 1) = 0 mod 7

x * (x - 1) * (x^2 + x + 1) * (x + 1) * (x^2 - x + 1) = 0 mod 7

Jetzt lassen sich schon drei Lösungen ablesen. Wegen 1 ≡ -6 mod 7 geht noch

x * (x - 1) * (x^2 + x - 6) * (x + 1) * (x^2 - x - 6) = 0 mod 7

und mit dem Satz von Vieta ergibt sich

x * (x - 1) * (x - 2) * (x + 3) * (x + 1) * (x + 2) * (x - 3) = 0 mod 7

eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren. Eine noch übersichtlichere Darstellung wäre

x * (x^2 - 1) * (x^2 - 4) * (x^2 - 9) = 0 mod 7.

Sicher gibt es noch andere Lösungsansätze.

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