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bin noch ziemlich neu auf dem Gebiet, also entschuldigt bitte wenn ich blöde Fragen stelle ;)

1) Ich habe eine DGL y' + e^y = 1. Man soll sie mit der Substitution z = e^{-y} lösen. Da meine erste Frage: Warum ist z = e^{-y} und nicht e^y?

2) z = e^{-y} bzw. y = -ln(z) soll nun abgeleitet werden. Dabei kommt laut Aufgabenbeschreibung y' = - (z'/z) raus. Das verstehe ich nicht. Ich dachte ln(x)' = 1/x?

3) Später soll durch Separation gelöst werden. Da haben wir

z'/(1-z) = 1   | ∫

-∫1/(z-1) dz = ∫dx

Wie kommt das - vor das linke Integral?

 

Das wars erstmal.

Danke :p

 

Grüße,

Thilo
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1 Antwort

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Ich löse nicht jeden Tag Differentialgleichungen und kann dir eigentlich nur 2) und 3) beantworten

1) Ich habe eine DGL y' + e^y = 1. Man soll sie mit der Substitution z = e^{-y} lösen. Da meine erste Frage: Warum ist z = e^{-y} und nicht e^y?

Ich hab keine Ahnung, wie man genau auf diesen Ansatz kommt.

Betrachte y' + e^y = 1. Die Summe ist immer 1. y' muss kleiner werden, wenn e^y grösser wird. Ein minus im Exponenten scheint irgendwie logischer.
Zudem ist ja ln… die Umkehrung von e^… D.h. e^ln… und e^ln… lässt sich ideal vereinfachen.

2) z = e^{-y} bzw. y = -ln(z) soll nun abgeleitet werden. Dabei kommt laut Aufgabenbeschreibung y' = - (z'/z) raus. Das verstehe ich nicht. Ich dachte ln(x)' = 1/x?

z ist hier eine innere Funktion. nach Kettenregel

ln(z) ' = 1/z * z'

"3) Später soll durch Separation gelöst werden. Wie kommt das - vor das linke Integral?"

Ich schreibe mal ein paar Zwischenschritte rein:

z'/(1-z) = 1   | ∫

dz/dx * 1/(1-z) = 1

dz/dx *( -1)* 1  /( z-1)  = 1           |*dx

(-1) * 1/(z-1) dz  = dx

Jetzt links und rechts Integralzeichen ergänzen. Den konstanten Faktor (-1) kannst du vor das Integral schreiben als Minuszeichen

-∫1/(z-1) dz = ∫dx

 

von 162 k 🚀

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