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Sers Leute :-) Also ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
Bestimmen Sie f'(x) und f''(x) für f(x): 1/(x^2 + 2). Umformen = (x^{2} + 2)^{-1}. Die erste Ableitung ist einfach zu bestimmen. Wir haben: u'(v): -1v^{-2} danach folgt v'(x): 2x. Nun die Kettenregel anwenden und schon erhalten wir f'(x) = -2x/(x^{2} + 2)^{2}.
Jetzt soll ich die zweite Ableitung bilden. Hier scheitere ich jetzt schon zum x-sten mal. Die Lösung soll (6x^{2} - 4)/(x^{2} + 2)^{3} sein.
Mein Problem ist es u'(v) und v'(x) zu bestimmen. Ich muss doch u'(v) und v'(x) auf - 4/(x^{2} + 2)^{3} beziehen, oder sehe ich das falsch?
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-2x/(x2 + 2)2

u(x) = -2x,            u'(x) = -2

v(x) = (x2 + 2)2

v'(x) = 2x*2(x2 + 2)   (Kettenregel)

= 4x (x2 + 2)

Nun Quotientenregel

f''(x) = (-2*(x2+ 2)2 - (-2x)*4x(x2+ 2)) / ((x2 + 2)2)2

 (-2*(x2+ 2)2 +8x2*(x2+ 2)) / (x2 + 2)4      |(x2+2) kürzen

  (-2*(x2+ 2) +8x2) / (x2 + 2)3   |innere Klammer auflösen

 (-2x2 -4  +8x2) / (x2 + 2)3       |Zähler zusammenfassen

= (6x2 - 4)/(x2 + 2)3

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f(x) = 1/(x2 + 2)


(u/v)' = (u'v - uv')/v2

u = 1 | u' = 0

v = (x2 + 2) | v' = 2x

v2 = (x2 + 2)2

f'(x) = -2x/(x2 + 2)2


u = -2x | u' = -2

v = (x2 + 2)2 | v' = 2 * (x2 + 2) * 2x = 4x * (x2 + 2)

v2 = (x2 + 2)4

f''(x) = [-2 * (x2 + 2)2 + 2x * 4x * (x2 + 2)] / (x2 + 2)4 | : (x2 + 2)

= [-2 * (x2 + 2) + 8x2] / (x2 + 2)3

= [-2x2 - 4 + 8x2] / (x2 + 2)3

= [6x2 - 4] / (x2 + 2)3


Besten Gruß


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