Man zeige: Für alle Reellen Zahlen a,b mit ...

Question

a) Man zeige: Für alle Reellen Zahlen $$ a,b  $$ mit $$  0 < a ≤ 1 ≤ b $$ gillt $$ a+b-ab≥1 $$

Ich verstehe leider nicht, was das mit diesen ganzen Mathematischen Zeichen ausdrücken soll? Kann mir das jemand als Text aufschreiben??? Oo

b)

Es seien $$ x_1,x_2,....x_n $$ Positiv Reelle Zahlen mit $$ \prod _{ k=1 }^{ n }{ x_k:=x_1\cdot x_2\cdot \cdot \cdot x_n=1  }  $$  Man zeige durch vollständige Induktion $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ x_k ≥n }  $$

Oo

kann mir das jemand erklären?

Comments

\( < \) heisst "kleiner", \( \le \) heisst "kleiner oder gleich", \( > \) heisst "größer", \( \ge \) heisst "größer oder gleich".

\( 0 < a \le 1 \le b \) heisst demnach "0 ist kleiner als a, a ist kleiner oder gleich 1 und 1 ist kleiner oder gleich b"

Als Übung kannst du mal ein paar Beispielwerte nennen, die a und b annehmen könnten.

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Ich weiß ja was diese Zeichen bedeuten :) aber ich hatte schwierigkeiten wie ich das lesen sollte :)

Danke :)

Ehm und weißt Du vielleicht wie die a) geht? Wie ich das zeigen könnte? :)

Answer 1

Also zur ersten Aufgabe:

Sei \( 0 < a < 1 \). Dann ist \( 1-a > 0 \) und mit \( b \ge 1 \) folgt

\( b \ge 1~~ | \cdot (1-a) \)

\( b \cdot ( 1-a ) \ge 1-a ~~| +a \)

\( a + b \cdot ( 1-a) = a + b - ab \ge 1 \)

Ist a = 1, so ist

\( a + b - ab = 1 + b - b = 1 \ge 1 \)

Comments

ich verstehe das nicht Oo

wie kannst DU das verstehen? Oooo

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Wieso? Das sind doch nur normale Umformungen bei Ungleichungen. Wenn a zwischen 0 und 1 liegt, dann ist ja logisch klar, dass 1-a größer als 0 sein muss. Von der 1 wird ja weniger als 1 abgezogen, daher ist das Ergebnis auf jeden Fall positiv. Dass b größer oder gleich 1 ist, ist eine Voraussetzung, die gegeben ist. Weil (1-a) größer als 0 ist, kann man in der Ungleichung auch damit multiplizieren ohne die Zeichen umdrehen zu müssen. Dann forme ich einfach um, bis ich bei der ursprünglichen Ungleichung bin. Den Fall für a = 1 muss man separat behandeln.

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Hi Thilo,

Sei 0 < a < 1

Ist a = 1, so ist ...

Widersprechen sich diese beiden Zeilen nicht?

Grüßle

Andreas

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Ich hatte erst den Fall für \( 0 < a < 1 \) bewiesen und danach den für \( a = 1 \). Habe den Beweis also in diese beiden Fälle aufgeteilt.

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@Thilo: Und das haben wir jetzt bewiesen oder wie???

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@Thilo:

Oh, ich hatte überlesen, dass in der Aufgabenstellung a ≤ 1 steht!

Alles klar, danke!!

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@Emre: Ja, oder kannst du mir widersprechen? Versuche es doch mal. Das wäre eine gute Übung für dich. Sage mir, was du an dem Beweis nicht logisch findest und wo du meinst, dass dort ein Fehler liegt.

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@Thilo: Danke für deine Hilfe :)

Ich hoffe ich nerv dich damit nicht ^^ :)

Ehm ich versuch das mal gleich. Wir haben gerade Besuch :)

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ich verstehe schon am anfang nicht was du gemacht hast Oo

eigentlich kann ich ungleichungen

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Was genau verstehst du denn daran nicht?

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ich kann das nicht erklären....ich verstehe einfach nicht wie du darauf kommst Oo :(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

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Worauf denn? Das musst du mir schon erklären ;) Dass 0 < a < 1? Oder dass dann a-1>0?

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beides :)

also wie kommst du auf 0<a<1 und 1-a>0??

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Dass \( 0 < a \le 1 \) gilt, ist eine Bedingung ( siehe oben "... mit \( 0 < a \le 1 \)" ). Okay, oben steht ein kleiner-gleich, aber das gleich lasse ich erstmal weg und behandle es später nocheinmal.

Also angenommen, es gilt \( 0 < a < 1 \). Also a ist größer als 0 und kleiner als 1. Dann ist 1-a größer als 0, weil von der 1 weniger als 1 abgezogen wird. Damit bleibt 1-a positiv. Also muss dann gelten \( 1-a > 0 \).

Du kannst es auch mit normalen Umformungen rauskriegen, die du aus der Schule kennst:

\( 0 < a < 1 ~~~| -a \)

\( -a < 0 < 1-a \)

Rechts steht dann \( 1-a > 0 \).

Soweit schonmal verstanden?

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ahhh ja ok  ok soweit hab ichs jetzt verstanden :)

machen wir bitte weiter :)

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Ja, dann sag, was du als nächstes nicht verstehst ;)

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b \ge 1~~ | \cdot (1-a)

wieso mal???
da verliert man so schnell den überblick ..nuur buchstaben und zeichen Oo

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Wieso nicht? Darf man doch, oder? Warum? Weil, wie ich vorher festgestellt habe, 1-a > 0, also ist es 1. positiv und 2. NICHT 0. Damit darf ich die Ungleichung \( b \ge 1 \) mit 1-a multiplizieren und muss nichteinmal die Zeichen umkehren.

Und danach, das sind ja auch nur normale Umformungen bei Ungleichungen, die du schon aus der Schule kennst. Das Wichtige ist das, worauf es hinausführt. Denn am Schluss steht:

\( a+b-ab \ge 1 \)

und das ist genau das, was man zeigen sollte.

Lesen könnte man es auch so "Wenn 0 < a < 1 und \( b \ge 1 \), dann ist ................ \( a + b - ab \ge 1 \)"

Wobei bei den Punkten die ganzen Zwischenschritte stehen, wobei einer auf den anderen führt und alles erlaubte mathematische Umformungen sind.

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Danke Thilo :)

ich will dich nicht mehr lange nverven :)

Dankeschön!!

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Ja gut, hoffe du hast es jetzt so einigermaßen verstanden. Ganz am Schluss muss man eben den Fall für a = 1 nochmal behandeln, weil ich oben ja 0 < a < 1 geschrieben hatte, es aber für \( 0 < a \le 1 \) gezeigt werden sollte.

Keine Ursache :)

Answer 2

Hi Emre,

Für Aufgabe a) gilt: 0 < a ≤1 ≤ b ; a+b - a*b > 1.

Ich würde eine Zahl für  die gilt 0 < a ≤ 1 einsetzen z.B. 0.5. Für b eine Zahl für die gilt b ≥ 1, z.B. 1.5.

Dann folgt (0.5 + 1.5) - (0.5 * 1.5) ≥ 1.

Die Aussage ist wahr denn: 1.25 ≥ 1.

Grüße, Florean :-)

Comments

Das ist kein Beweis.

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Schade, dann bin ich mal gespannt auf die Lösung. Mein Studium hat leider noch nicht begonnen, aber ein Versuch war es Wert :-)

Grüße

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Hi Florean :)

Danke für deine Antwort, auch wenn  es kein Beweis wahr :) EIn versuch war es auf jeden Fall wert :)

Ich bin auch mal gespannt auf die Lösungen :)

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Mhmmmm.....

1) a+b - a*b ≥ 1
2) a+b - a ≥ 1/b
3) b ≥ 1/b

So vielleicht?

Answer 3

Aufgabe a)

Emre vielleicht verstehst du es so:

$$ a+b-ab \ge1\\a-1+b-ab\ge0\\a-1+b \cdot(1-a) \ge0 \\a-1+b\cdot(-1)(a-1) \ge0\\a-1-b\cdot(a-1)\ge0\\(a-1)\cdot(1-b)\ge0 ~~~~~~~~~~~_\blacksquare$$

Inspirationen von hier:

https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20100729023616AAJ9Xh2