Wie lautet der mathematische Terminus (Fachwort) der Regel vom Nullprodukt?

Question

folgende Frage aus der Abiturvorbereitung:

Bei einem Produkt a × b = 0 kann man die Regel des Nullproduktes Anwenden.

Für Laien:
Das oben beschriebene Produkt a × b ergibt dann (und nur dann) Null, wenn a und/oder b den Wert Null besitzen. Denn: a × 0 = 0 ∧ 0 × b = 0

Wie lautet der Wissenschaftliche Begriff für diese Regel?

Vielen Dank für die Antworten.

Answer 1

Der Satz "Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist." wird auch kurz durch "Jeder Körper ist nullteilerfrei."  beschrieben. Auch andere Strukturen können nullteilerfrei sein. Wo kommt das in der Schulmathematik vor?

Comments

Beim Lösen der Gleichung dritten Grades x³+x²-2x = 0 klammere ich im ersten Schritt x aus:

x × (x²+x-2) = 0

Damit gilt nach Anwendung der o.g. Regel: 0 ⊆L wobei L die Lösungsmenge ist. Im Nächsten Schritt löse ich die Qudratische Gleichung unter Anwendung der pq-Formel.

Zwecks Kommentierung benötige ich den Fachausdruck (eine bloße Umschreibung genügt im Mathe Leistungskurs nicht und entspricht auch nicht meinen eigenen Anforderungen).

L ist übrigens {-2, 0, 1} ;)

Zur Frage wo das in der Schulmathematik auftaucht: Ich bin im ersten Semester der Abiturphase im Mathe-Leistungskurs. Die Aufgaben sind ein Auszug aus dem Vorkurs und Teil einer Wiederholung, die ich nötig habe, da ich nach einigen Jahren das Abitur im zweiten Bildungsweg nachhole.

---

Zitat: Damit gilt nach Anwendung der o. g. Regel 0 ⊆ L, wobei L die Lösungsmenge ist. Im nächsten Schritt löse ich die quadratische Gleichung unter Anwendung der pq-Formel.

Es müsste 0 ∈ L oder { 0 } ⊆ L heißen. Statt der pq-Formel geht es hier auch gut mit dem Satz von Vieta.

Eigentlich wird in der Abiturmathematik der Satz vom Nullprodukt bereits als hinlänglich bekannt vorausgesetzt, so dass er in einer Rechnung ohne besondere Begründung angewendet werden darf. Der Hinweis "nach dem Satz vom Nullprodukt gilt..." wäre also bereits überflüssig, falsch ist er aber auch nicht. Möchtest Du diese Formulierung vermeiden, aber dennoch ausdrücklich begründen, könntest Du "Mit der Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen folgt..., also etwa so:

x³ + x² - 2*x = 0

x * (x² + x - 2) = 0

x * (x + 2) * (x - 1) = 0

Mit der Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen folgt:

x = 0   oder   x + 2 = 0   oder   x - 1 = 0

...

---

Dann werd ich mich darauf verlassen. Sehr schön finde ich die Ausklammerung im vorletzten Schritt.

Trotzdem glaube ich dass es ein Fachbegriff für diese Regel gibt :)) Sollte er mir zufällig über den Weg laufen oder von meinem Lehrer verwendet werden, trage ich die Antwort nach.

So long, ...

---

Na ja, wie schon sagte, der Fachbegriff heißt nullteilerfrei:

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29#Eigenschaften_und_Begriffe