Integration durch Substitution, mir fehlt ein Schritt

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe:

$$\int { \sqrt { 2x+1 } dx=\int { \sqrt { u } *\frac { du }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } *\int { { u }^{ 1/2 }=\frac { 1 }{ 2 } *\frac { 2 }{ 3 } *{ u }^{ 3/2 }+C }  }  } $$

mit u=2x+1

Wie komme ich von Schritt zwei auf Schritt drei?

Comments

Diese Aufgabe ist ein gutes Beispiel zur Anwendung der "linearen Substitution".

∫f(ax +b) dx = (1/a) * F(ax + b) + C

In deinem Fall ist a = 2 und b = 1

Das klappt aber nur, wenn x den Grad 1 hat.

Answer 1

du/ 2 = 1/2 * du         | konstanten Faktor vor das Integral nehmen.

√u = u^{1/2}              |Potenzgesetz. Wurzel als Potenz mit gebrochenen Exponenten.

Im 3. Term wurde das du unterschlagen. Das musst du noch ergänzen.

Comments

Nachdem ich meine Frage abgesendet habe und mit dem Hund spazieren war ist mir das auch wieder eingefallen.

Answer 2

man integriert das Integral ∫uⁿ du   mit n != -1 wie folgt:

1/(n+1) * u⁽ⁿ⁺¹⁾  + C

In deinem Fall ist n = 1/2

Kurze Zusammenfassung: Erhöhe den Exponenten und um 1 und setze den Kehrwert dieses Exponenten vor die Variable.