Beweis, dass die Summe dreier Kubikzahlen durch 9 teilbar ist.

Question

We kann ich diese Aufgabe lösen?

"Beweise, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender Kubikzahlen stets durch 9 teilbar ist."

LG

Comments

Aha, Du möchtest also

9 | (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3

beweisen?

Answer 1

das könntest Du beispielsweise mit vollst. Induktion beweisen.

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3

Für n = 1 --> 36 und das ist durch 9 teilbar

IV: n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 ist durch 9 teilbar

IS:

(n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 = 9k

Letzten Summanden mit Pascalschem Dreieck (oder anderem) auflösen:

(n+1)^3 + (n+2)^3 + n^3 + 9n^2 + 27n + 27

Das rote ist wegen der Induktionsveraussetzung bekannt und durch 9 teilbar.

Die letzten drei Summanden sind ebenfalls durch 9 teilbar: 9n^2 + 27n + 27 = 9(n^2 + 3n + 3)

Damit ist die ganze Summe durch 9 teilbar und das ganze bewiesen.

Grüße

Answer 2

für 0³, 1³ und 2³ = 1 + 8 = 9 gilt die Aussage offenbar.

Nehmen wir dies als Induktionsverankerung unserer Vollständigen Induktion.

Annahme:

Die Aussage gelte für x, also x³ + (x+1)³ + (x+2)³ ist durch 9 teilbar.

Schluss:

Dann gilt sie auch für (x+1), also (x+1)³ + (x+2)³ + (x+3)³ ist durch 9 teilbar.

(x+1)³ + (x+2)³ + (x+3)³ kann man schreiben als

(x+1)³ + (x+2)³ + (x+3)³ + x³ - x³

Die Summe der rot gekennzeichneten Summanden ist nach Annahme durch 9 teilbar.

Es bleibt demnach zu zeigen, dass der Rest der Summe,

(x+3)³ - x³

ebenfalls durch 9 teilbar ist.

(x+3)³ - x³ =

(x+3) * (x² + 6x + 9) - x³ =

x³ + 6x² + 9x + 3x² + 18x + 27 - x³ =

9x² + 27x + 27 =

9* (x² + 3x + 3)

Also ist (x+3)³ - x³ und damit auch

(x+1)³ + (x+2)³ + (x+3)³

durch 9 teilbar, was zu beweisen war.

Besten Gruß

Comments

Abend Brucybabe.
Schön aufgeschrieben :).
Hier wäre es allerdings vielleicht sinnvoller eine 9 auszuklammern?^^

9x² + 27x + 27 =

3 * (3x² + 9x + 9)

Grüßle

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Hi Unknown,

da hast Du natürlich wieder einmal so etwas von Recht :-D

Danke Dir, wird sofort korrigiert.

Liebe Grüßle

Andreas

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Recht habe ich gerne :D.

Und *hochschieb* ;).

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Yep,

was kann ich da schon tun außer Dir einen Daumen zu geben?

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Geschehen :-D

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Ich reihe ihn in meine kleine Sammlung ein :D. Hab Dank.

Nun aber gute Nacht für heut^^.

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Die wünsche ich Dir auch :-)

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Neeinn Unknown gehe nicht. Ich wollte noch mathe aufgaben machen^^

Hallo Brucybabe:D  du bist noch da?

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Hi Emre,

yep, ich bin noch da :-D

Wenn ich helfen kann, tue ich das gerne, wie Du weißt ... wenn nicht, oje!

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Haha ja das weiß ich :-)

Es geht um Taylorentwicklung also Fehlerabschätzung. Das interessiert mich mal ^^

kannst Du mir da helfen?

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Oh, das sieht ganz schlecht aus :-(

Ich glaube, das habe ich einmal in einem früheren Leben im Informatikstudium gehabt, ist aber gefühlte 1000 Jahre her :-D

(Reell immerhin mehr als 30 Jahre ...)

Da würde ich Dich wirklich bitten, Dich mit Fragen zum Beispiel an den Mathecoach, Unknown oder Lu zu wenden, weil diese Top-Leute wahrscheinlich noch mitten in der Materie sind (im Psycho-Studium habe ich so etwas nicht gebraucht, und bei Schulmathematik ohnehin nicht).

Tut mir Leid, mein Lieber, aber meine mathematischen Lücken sind weit größer als meine Kenntnisse :-)

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ahsoo :-)

gar kein Problem :)

eigentlich können auch solche fragen warten, weil das ja kein Schulstoff ist (glaube ich). Da ich jetzt in der 11 Klasse bin und da wir nur kurvendikussion und ableitungen machen (und ich ja bisschen Voraus bin als die anderen) beschätftige ich mich bisschen so abends mit meinen interesse fragen  ^^ (nur wenn ich am nächsten tag keine Schule habe :D )

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Immer gut, wenn man lernen will und sich weiterbildet :-)

In der Tat ist mir übrigens die Taylorentwicklung bei der Zusammenarbeit mit Abiturienten/Abiturientinnen

NOCH NIE begegnet - vielleicht ein kleiner Trost für Dich Neugierigen :-D

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Ja:)

interessant anscheinend ist das kein Schulstoff Oo Ich werde mal am Mittwoch mein Mathe Lehrer fragen^^
mal sehen was er darauf antwortet haha und wenn ich dann sage, dass ich die taylorentwicklug kann Oo

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Dann wird er wohl ...

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staunen,

gelinde gesagt :-D

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hahaha bestimmt. Ich glaube ich gehe mal eine runde schlafen^^

Gute Nacht :-))))

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Vielleicht fragt er dich sogar nach 'ner Taylorreihenentwichklung, z.B. von exp(x) um 0. Und dann fällt es dir nicht ein...

Answer 3

(n-1)³+n³+(n+1)³=3n³+6n=3n(n²+2)=3n(n²-1+3)=3(n-1)n(n+1)+9n Von drei aufeinanderfolgende Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar, also ist der Term durch 9 teilbar.

Answer 4

ich würde da mal einen etwas anderen Beweis als einen "Standard"-Induktionsbeweis vorschlagen. Betrachten wir alles modulo 9 . Die drei Werte, von denen die dritten Potenzen gebildet werden, seien k-1, k und k+1 .

Für die Summe der Kuben haben wir dann  S = (k-1)³ + k³ + (k+1)³ = 3 k³ + 6 k  (modulo 9)

Das kann man faktorisieren:   S = 3 * ( k³ + 2 k )

Um zu zeigen, dass S stets durch 9 teilbar ist (also S = 0  modulo 9), genügt nun der Nachweis, dass  f(k) = k³ + 2 k  stets durch 3 teilbar ist. Für diese Rechnung können wir nun sogar modulo 3 rechnen, das heißt, es genügt, für k zum Beispiel die Werte 0, 1 und 2 einzusetzen. Es ist  f(0)=0 , f(1) = 3 , f(2) = 12 . Diese Werte sind allesamt durch 3 teilbar, und nur dies war noch nachzurechnen.

Comments

Diesen Beweis finde ich auch schöner als die Induktionsvarianten, zumal er wesentlich weniger Aufwand benötigt und die Aussage gleich für alle ganzen Zahlen beweist. Man könnte ihn noch verkürzen zu

(k-1)³ + k³ + (k+1)³ = 3*k³ + 6*k  ≡ 3*k³ - 3*k = 3*(k-1)*k*(k+1) mod 9.

PS: Ich sehe gerade, dass die Antwort von bj828 auf etwas andere Weise dieselbe Idee verfolgt.

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Die heavy-Poster wählen sich halt gegenseitig hoch und schwadronieren über irgendwas anderes so dass man die sinnvollen Antworten nicht sieht...