Differentialgleichung charakterisieren: Explizit, implizit, Ordnung usw?

Question

kann mir bitte jemand am Beispiel der Differentialgleichung:

y''(x)+4y(x)=8

folgende Punkte definieren und erklären wie man darauf kommt?

Ist die Formel explizit/implizit?

Ansatz: Sowohl y''(x) wie auch y(x) haben noch ein (x) somit sind sie implizit!?

Welcher Ordnung ist die Funktion?

Ansatz: Die höchste Ableitung ist y'' also ist es eine Funktion 2ter Ordnung?

Hat die funktion konstante Koeffizienten?

Ansatz: vor y(x) steht der Koeffizient 4 vor y'' seht keine 4 => Keine konstanten Koeffizienten!?

Ist die Funktion linear oder stetig?

y'' danach y danach Konstante also eine Funktion 2. Grades, sie ist linear?

Ist die Funktion homogen oder inhomogen?

Ich hoffe jemand kann mir mein Vorgehen bestätigen oder mich verbessern.

Schönen Gruß!

Answer 1

Explizit bedeutet, dass auf einer Seite nur die höchste Ableitung alleine steht.  y'' = ....

Implizit bedeutet, dass auf einer Seite Null steht. 0 = .....

In diesem Fall trifft beides nicht zu!! Sie ist weder implizit, noch explizit.

y''(x)+4y(x)=8

Umformen

y''(x)+4y(x) -8 = 0  wäre implizit

y''(x) = 8 - 4y(x) wäre explizit

Welcher Ordnung ist die Funktion? Deine Antwort ist richtig, 2ter Ordnung.

Hat die funktion konstante Koeffizienten?

1y''(x)+4y(x)=8

vor y'' steht eine 1 , du hast also Unrecht und die Funktion hat konstante Koeffizienten.

Ist die Funktion linear oder stetig?

Hier musst du prüfen, ob die einzelnen Ableitungen noch potenziert werden. z.B [y''(x)]²

Ist nicht linear! Linear bedeutet, alle Ableitungen haben die Potenz 1. Dies ist hier so

Das hat nichts mit den Konstanten zu tun, das hat was mit der Potenz zu tun. Da überall die Potenz 1 ist, ist die DGL linear

Ist die Funktion homogen oder inhomogen?

Homogen bedeutet, dass du sowas hast

y''(x)+4y(x) = h(x)  und h(x) = 0 ist.

Bei dir ist ABER h(x) = 8 was ≠ 0 ist

Da sie nicht homogen ist, ist diese inhomogen.

Was du dir merken kannst: Wenn deine DGL implizit ist, also auf einer 0 steht ist, ist die DGL auch homogen.

Answer 2

Hi,

explizit bedeutet, Du hast Darstellung die nach der höchsten Ableitung aufgelöst werden kann, ansonsten ist sie implizit, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung

Insofern ist die DGL explizit.

Ja, die Ordnung 2

Die Koeffizienten vor den Ableitungen sind Konstanten, also ist es eine DGL mit konstanten Koeffizienten.

Die Linearität bezieht sich auf die Ableitungen von y. Da diese nur in erster Potenz vorkommen, ist die DGL linear.

Homogen is eine DGL, wenn wenn es nur Terme mit y oder Ableitungen von y gibt. Hier taucht der Term 8 ohne y auf, also ist die DGL inhomogen.