Man gebe eine Gleichung für die Punktmenge der Ebene an. Man berechne den Abstand des Punktes A von der Ebene.

Question

Gegeben sind die Ebene \( \varepsilon_{1} \) und eine Ebene \( \varepsilon_{2} \).

Ebene \( \varepsilon_{1} \) durch die Punkte \( \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3} \quad \mathrm{P}_{1}(2 ; 1 ;-1), \quad \mathrm{P}_{2}(-3 ; 2 ; 1), \quad \mathrm{P}_{3}(1 ;-2 ; 3) \)

bzw. durch die Gleichung \( 5 x+9 y+8 z=11 \)

Ebene \( \varepsilon_{2} \) durch die Punkte A, B, C A (3;-4;4), B (-6; 1; 4), C \( (2 ; 1 ;-3) \)

a) Man gebe eine Gleichung für die Punktmenge der Ebene \( \varepsilon_{2} \) an.

b) Man berechne den Abstand des Punktes A von der Ebene \( \varepsilon_{1} \).

c) Wie liegen die Ebenen zueinander? Falls sie gemeinsame Punkte haben, gebe man diese in geeigneter Darstellungsform an.

Comments

Zwei Ebenen im Raum können zueinander
(1) identisch sein,
(2) nicht identisch und parallel sein,
(3) nicht identisch und sich schneidend sein.

Die Schnittmenge ist im Falle
(1) die Ebene selbst,
(2) leer,
(3) die eindeutig bestimmte, gemeinsame Schnittgerade.

Die Fälle (1), (2) und (3) sind die drei möglichen Lagebeziehungen von zwei Ebenen im Raum.

---

Danke schön.

1a) kann ich  einfach als Parameterform bezeichnen oder?

und 1b) ist mein Problem ,Ich weiß nicht, was ich tun soll

und 1c) versuche ich jetzt..

Hast du eine Ahnung von 1b ??

---

Die Ebene ε₂ kannst Du durch eine Parametergleichung oder durch eine Koordinatengleichung darstellen, das dürfte hier keinen allzugroßen Unterschied machen.

Der Abstand A zu ε₁ lässt sich beispielsweise durch Einsetzen des Ortsvektors von A in die Hesse-Normalenform von ε₁ bestimmen. Ist die nicht bekannt, geht es auch zu Fuß: Lotgerade bestimmen, Lotfußpunkt F als Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene ε₁ berechnen und den Abstand von A und F bestimmen.

Answer 1

1a) hier kannst du die Parameterform angeben. Ich würde aus Übungstechnischen Grunden auch die Koordinatenform berechnen.

1b) Den Abstand mache ich auch über die Koordinatengleichung. Lautet die Koordinatengleichung

ax + bx + cz = d dann berechnet man den Abstand über

Abstand = (ax + bx + cz - d) / √(a^2 + b^2 + c^2)

Hier wird dann nur noch der Punkt für x, y und z eingesetzt.

1c) Wenn du die Koordinatenform der ebenen hast, hast du auch die Normalenvektoren. Sind zwei davon parallel liegen die Ebenen auch parallel. 

Auf wunsch kann ich bei c später helfen, wenn du die Koordinatengleichungen der Ebenen versuchst zu erstellen.