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Gegeben sind die Ebene ε1 \varepsilon_{1} und eine Ebene ε2 \varepsilon_{2} .

Ebene ε1 \varepsilon_{1} durch die Punkte P1,P2,P3P1(2;1;1),P2(3;2;1),P3(1;2;3) \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3} \quad \mathrm{P}_{1}(2 ; 1 ;-1), \quad \mathrm{P}_{2}(-3 ; 2 ; 1), \quad \mathrm{P}_{3}(1 ;-2 ; 3)

bzw. durch die Gleichung 5x+9y+8z=11 5 x+9 y+8 z=11

Ebene ε2 \varepsilon_{2} durch die Punkte A, B, C A (3;-4;4), B (-6; 1; 4), C (2;1;3) (2 ; 1 ;-3)

a) Man gebe eine Gleichung für die Punktmenge der Ebene ε2 \varepsilon_{2} an.

b) Man berechne den Abstand des Punktes A von der Ebene ε1 \varepsilon_{1} .

c) Wie liegen die Ebenen zueinander? Falls sie gemeinsame Punkte haben, gebe man diese in geeigneter Darstellungsform an.

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Zwei Ebenen im Raum können zueinander
(1) identisch sein,
(2) nicht identisch und parallel sein,
(3) nicht identisch und sich schneidend sein.

Die Schnittmenge ist im Falle
(1) die Ebene selbst,
(2) leer,
(3) die eindeutig bestimmte, gemeinsame Schnittgerade.

Die Fälle (1), (2) und (3) sind die drei möglichen Lagebeziehungen von zwei Ebenen im Raum.

Danke schön.

1a) kann ich  einfach als Parameterform bezeichnen oder?

und 1b) ist mein Problem ,Ich weiß nicht, was ich tun soll

und 1c) versuche ich jetzt..

Hast du eine Ahnung von 1b ??

Die Ebene ε2 kannst Du durch eine Parametergleichung oder durch eine Koordinatengleichung darstellen, das dürfte hier keinen allzugroßen Unterschied machen.

Der Abstand A zu ε1 lässt sich beispielsweise durch Einsetzen des Ortsvektors von A in die Hesse-Normalenform von ε1 bestimmen. Ist die nicht bekannt, geht es auch zu Fuß: Lotgerade bestimmen, Lotfußpunkt F als Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene ε1 berechnen und den Abstand von A und F bestimmen.

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1a) hier kannst du die Parameterform angeben. Ich würde aus Übungstechnischen Grunden auch die Koordinatenform berechnen.

1b) Den Abstand mache ich auch über die Koordinatengleichung. Lautet die Koordinatengleichung

ax + bx + cz = d dann berechnet man den Abstand über

Abstand = (ax + bx + cz - d) / √(a2 + b2 + c2)

Hier wird dann nur noch der Punkt für x, y und z eingesetzt.

1c) Wenn du die Koordinatenform der ebenen hast, hast du auch die Normalenvektoren. Sind zwei davon parallel liegen die Ebenen auch parallel. 

Auf wunsch kann ich bei c später helfen, wenn du die Koordinatengleichungen der Ebenen versuchst zu erstellen.

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