Question

wie errechne ich den lokalen hochpunkt und tiefpunkt bei der aufgabe y=(x-1)*(x+1)*(x-2)

und warum ist dies so.

Answer 1

wie errechne ich den lokalen hochpunkt und tiefpunkt bei der aufgabe
y=(x-1)*(x+1)*(x-2)
Multiplizieren wir erst einmal aus

f ( x ) = ( x^2 - 1 ) * ( x -2 )
f ( x ) = x^3  -  2 x^2  - x + 2
1.Ableitung
f ´ ( x ) = 3*x^2 - 4*x - 1
Stellen mit Steigung 0
3*x^2 - 4*x - 1 = 0 
x^2 - 4/3 * x - 1/3 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x^2 - 4/3 * x + (2/3)^2 = 1/3 + 4/9 = 7/9
( x - 2/3 )^2 =  7 / 9
x - 2/3 = ±√ ( 7 / 9 )
x = ± 0.882 + 0.666
x = 1.548
x = -0.215
2.Ableitung
f ´´( x) = 6 * x - 4
für x = 1.548
f ´´( 1.548 ) = 6 * 1.548 - 4 > 0 = Tiefpunkt
für x = -0.215
f ´´( -0.215 ) = 6 * ( - 0.215 ) - 4 < 0 = Hochpunkt
Jetzt mußt du noch die Funktionswerte der x Stellen
ausrechnen um die Koordinaten vollständig zu erhalten.

Comments

Hier nur ein Hilfstext damit 20 zeichen erreicht werden.

---

was genau meinst du mit funktionswerte der x stellen ausrechnen?

und vielen dank dir!

---

f ( x ) = y = ( x - 1 ) * ( x + 1 ) * ( x - 2 ) 

E ( 1.548   | f ( 1.548 ) )
E (  -0.215  | f ( -0.215 ) )

---

also einsetzen 1,548=( x - 1 ) * ( x + 1 ) * ( x - 2 )  und ausrechnen?

mfg danke dir

---

f ( 1.548 ) = ( 1.548 - 1 ) * ( 1.548 + 1 ) * ( 1.548 - 2 )

---

hab jetzt alles super kapiert, vielen dank dir! und was genau meinst du mit stellen mit der steigung 0?

---

An den Extrempunkten ist die Steigung 0.
Siehe Skizze.
Das war jetzt aber die letzte Antwort.
Ein bißchen können dir deine Lehrer auch noch beibringen.

Answer 2

Für drei Faktoren schreibt sich die Produktregel als:

(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'

Also ist ((x-1)*(x+1)*(x-2))'= (x+1)(x-2)+(x-1)(x-2)+(x-1)(x+1)

und das ergibt (x+1+x-1)(x-2)+x²-1=2x(x-2)+x²-1=2x²-4x+x²-1=3x²-4x-1.

Mit der abc-Formel ergeben sich als Nullsten \( \frac{4 \pm \sqrt{16+12}} {6} =\frac{ 2\pm \sqrt{7} } {3} \)

Die Funktion hier ist eine dritten Grades , der höchste Koeffizient ist positiv. Damit geht die Funktion also "von links unten" nach "rechts oben".

Es muss also der kleinere(weiter links) der beiden Nullstellen der Hochpunkt sein, der andere der Tiefpunkt.

Comments

danke sehr euren beiden antworten! gibt es dazu noch ein bildliches beispiel warum die stelle dan der hochpunktbzw. tiefpunkt ist?