Vermischte Aufgaben zu Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Question

a) Was kann man über cos alpha sagen, wenn sich alpha immer mehr dem Wert 0 Grad annährt?

Cos alpha nähert sich dem Wert 1, wenn sich alpha immer mehr dem Wert 0 Grad annähert.

b) Was kann man über sin alpha sagen, wenn sich alpha mehr dem Wert 90 Grad annähert?

Sinus alpha nähert sich dem Wert 1, wenn sich apha immer mehr dem Wert 90 Grad annähert.

c) Was kann man über tan alpha sagen, wenn sich alpha immer mehr dem Wert 0 Grad annähert?

Tangens alpha nähert sich dem Wert 0, wenn sich apha immer mehr dem Wert 0 Grad annähert.

d)

Begründe am Einheitskreis:

(sinalpha)²+(cosalpha)²=1

Ich brauch hier wirklich Hilfe, da ich das nicht kann.

habe schon oft von Leuten dies erklärt bekommen bzw. von meinem Lehrer, das das was mit dem Phythagoras zu tun hat,,,,habe aber nichts verstanden. Deshalab würde ich mich freuen, wenn jemand es gut erklärt....

Comments

zu d) Suche auf allen Abbildungen hier

https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

rechtwinklige Dreiecke und benutze den Pythagoras.

Du wirst feststellen, dass z.B. (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1.

Diese Gleichung kannst du mit normalen Reglen der Algebra nach sin(x) und nach cos(x) auflösen.

Answer 1

Bei einem Dreieck im Einheitskreis ist der Radius = 1 und damit auch die Hypotenuse = 1.

Das ist deswegen günstig, weil man dann sehr einfach die Längen der Katheten eines Dreiecks berechnen kann, weil die Hypotenuse gleich 1 ist und damit praktisch aus der Rechnung wegfällt.

Damit ergeben sich die beiden Katheten des Dreiecks zu

Gegenkathete = sin(alpha)

und

Ankathete = cos(alpha)

Da du ein rechtwinkliges Dreieck hast, kannst du natürlich auch wieder den Satz des Pythagoras aufstellen

cos ²(alpha) + sin²(alpha) = 1²

Das ist ein sehr nützlicher Satz, wenn man später mit Winkelfunktionen rechnet, weil man dann den sinus über den cosinus audrücken kann und umgekehrt und sich dadurch Formeln umformen und vereinfachen lassen.

Answer 2

das kannst du geometrisch mit Hilfe des Satzes des Pythagoras beweisen.

Du malst ein Dreieck in den Einheitskreis und stellst fest, dass dieses rechtwinklig ist. Danach beschreibst du die Seiten dieses Dreieckes mit \( a \), \( b \) und \( c \).

Da der Radius des Einheitskreises \( 1 \) ist, weißt du, dass \( c = 1 \) ist. Mit \( a = \frac{a}{c} = \sin(\alpha) \) und \( b = \frac{b}{c} = \cos(\alpha) \) (denn \( c =  1\)) kannst du die Gleichung hinschreiben.

Diese Gleichung heißt deswegen auch "trigonometrischer Satz des Pythagoras".

Mister