Ableitung nach der Quotientenregel

Question

Funktion:

f(x)=   x³__

x²-3

die erste Ableitung:

f´(x)=     x⁴- 9x²

___________

(x² - 3)²

zweite Ableitung:

f´´(x)=  6x³ + 54x

_____________

(x² - 3)³

um ehrlich zu sein hätte ich den Zähler der ersten Ableitung wie folgt Abgeleitet: 3x

Wo ist bei mir der Denkfehler bzw. wie kann ich solche Brüche ableiten?

.... Ich hoffe für diese Frage wird mich nicht der Kopf abgerissen :)

Answer 1

hier wird niemandem der Kopf abgerissen :-)

Quotientenregel:

(g/h)' = [ g' * h - g * h' ] / h²

Hier ist g(x) = x³ | g'(x) = 3x²

h(x) = x² - 3 | h'(x) = 2x | [h(x)]² = (x² - 3)²

Alles eingesetzt:

[3x² * (x² - 3) - x³ * 2x] / (x² - 3)²

(3x⁴ - 9x² - 2x⁴) / (x² - 3)²

(x⁴ - 9x²) / (x² - 3)²

Etwas klarer?

Besten Gruß

Comments

das mach sehr viel sinn!

dürfte ich unhöflich noch um den weg von f´´(x) fragen? mir geht es darum, da ich nicht weiss wie ich beispielsweise dann so etwas "vereinfachen" kann:

f´´(x)=  (4x³ - 18 x) * (x² - 3)² - (x⁴ - 9x²) * (x² - 3)³   /   (x² - 3)³

Mein größtes Unverständnis liegt dabei (x² - 3)²  oder (x² - 3)³ zu "vereinfachen"

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Freut mich, wenn ich helfen konnte :-)

Nun zu f''(x):

g(x) = (x⁴ - 9x²) | g'(x) = 4x³ - 18x

h(x) = (x² - 3)² = x⁴ - 6x² + 9 | h'(x) = 4x³ - 12x | [h(x)]² = (x² - 3)⁴

Einsetzen in obige Formel ergibt:

[(4x³ - 18x) * (x² - 3)² - (x⁴ - 9x²) * (4x³ - 12x)] / (x² - 3)⁴ =

[(4x³ - 18x) * (x² - 3)² - (x⁴ - 9x²) * 4x * (x² - 3)] / [(x² - 3)³ * (x² - 3)]

Jetzt steht (x² - 3) als Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner und kann weggekürzt werden:

[(4x³ - 18x) * (x² - 3) - (x⁴ - 9x²) * 4x] / (x² - 3)³ =

(4x⁵ - 12x³ - 18x³ + 54x - 4x⁵ + 36x³) / (x² - 3)³ =

(6x³ + 54x) / (x² - 3)³

Und da haben wir unser "schönes" Ergebnis :-D

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Vielen dank für deine Antwort und sorry für meine Späte! ich habs verstanden :-D

Answer 2

die Ableitungen sind richtig (oder hast Du die wo her?.

Für die Ableitung des Zählers gilt 3x². Aber da kommt ja noch der Nenner hinzu ;).

Grüße

Answer 3

Hi,

hier mal mit TeX. Hat echt lang gedauert Oo

$$f'(x)=\frac { u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x) }{ (v(x))^2 }$$
$$f(x)=\frac { x^3 }{ x^2-3 }$$
$$u(x)= x^3→u'(x)= 3x^2$$
$$v(x)= x^2-3→v'(x)= 2x$$
$$f'(x)= \frac { 3x^2\cdot (x^2-3)-2x\cdot x^3 }{ (x^2-3)^2 }$$
$$= \frac { 3x^4-9x^2-2x^4 }{ (x^2-3)^2}$$
$$f'(x)= \frac { x^4-9x^2 }{ (x^2-3)^2 }$$

Gruß