Wie viele Zahlen zwischen 1 und 1000 sind durch 2 oder 5 teilbar (Beweis mithilfe von mengen)

Question

Seien A und B Mengen und |A| die Mächtigkeit der Menge

Es gilt: |A|+|B|=|A∪B|+|A∩B|

Nun soll mit diesem Wissen herausgefunden werden, wie viele Zahlen zwischen 1 und 1000 durch 2 oder 5 teilbar sind.

Meine Idee wäre nun zu sagen A ist die Menge aller Zahlen die durch zwei teilbar sind und B die Menge aller Zahlen die durch 5 teilbar sind. Dann wäre |A∩B|=1000/2/5=1000/10=100

Nun ist |A∪B| Dann (1000/2+1000/5)-100 nehme ich an und somit ergibt sich zusammen 700 was vermutlich auch stimmt. Nur dies lässt sich doch auch gleich mittels 1000/2/5 zeigen, wofür brauche ich da die Mengen? Habe ich etwas übersehen?

Comments

Ok, setzen wir mal ein in:

| A |  +  | B |  =  | A ∪ B |  +  | A ∩ B |

Sei A = V(2) und B = V(5). Dann ist

| V(2) |  +  | V(5) |  =  | V(2) ∪ V(5) | + | V(2) ∩ V(5) |

| V(2) |  +  | V(5) |  =  | V(2) ∪ V(5) | + | V(10) |

Das Grüne soll bestimmt werden und die blaue Umformung ist dabei nützlich.
Weiter ist in diesem Zusammenhang   | V(k) |  = 1000 / k.

Answer 1

Hi,

du hast schon deine Mengen im Sinne der Aufgabe gewählt.

|A| = 1000/2 = 500

|B| = 1000/5 = 200

|A ∩ B | = 1000/(5*2) = 100

aber (das hast du eigentlich richtig gemacht, nur dich verrechnet):

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B | = 600

Das Beispiel verdeutlicht dir die Vorgehensweise wenn manche Mengen nicht "so" einfach abzuzählen sind und wie du die doppelte Zählung von Zahlen berücksichtigst.

Gruß