Summe von 1/k! < 3. Hilfe.

Question

Hallo  Leute, ich habe ein Problem und zwar soll ich die Summe k=0 über n

∑1/k! < 3 beweisen.

Doch wie genau fang ich mit dem Induktionsanfang an. Ich habe ja kein n in der Funktion.

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.

Comments

Aber Du hast ein n als oberen Summationsindex. Das geht doch auch.

Answer 1

Hi, \( \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}<\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=e<3 \)

Comments

Und woher weißt du, dass \(\mathrm e<3\) ist?

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Da schaut man bei Wiki nach und steltt fest, das \( e= 2.718 \) ist, oder man macht es sich  kompliziert und berechnet die Folge \( \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \) und bestimmt eine obere Grenze für diesen Ausdruck. Ich geh aber mal stark davon aus, dass ihr die Potenzreihenentwicklung für \( e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \) schon hattet und damit auch die Zahl \( e \) eingeführt habt und damit auch der Wert von \( e \) bekannt ist.

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Bei Wikipedia nachzuschauen, ist allerdings keine anerkannte Beweismethode ;)

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Ja kennst Du denn die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion oder nicht?

Answer 2

Zeige per Induktion über \(n\), dass \(\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\le3-\frac1n\) für alle \(n>0\) gilt.
Induktionsanfang: Klar für \(n=1\). Induktionsschritt:$$\sum_{k=0}^{n+1}\frac1{k!}\le3-\frac1n+\frac1{(n+1)!}=3-\frac1n+\frac1{(n+1)\cdot n!}\le3-\frac1n+\frac1{(n+1)\cdot n}.$$Daraus folgt die Behauptung.