Warum ist Dirac-Maß P(Omega)->[0;1] und nicht Omega->[0;1]?

Question

Wieso ist das Dirac-Maß über eine Funktion δ_ω festgelegt und nicht wie andere Wahrscheinlichkeitsmaße auch über eine W-Funktion? Könnte man das Dirac-Maß nicht auch so definieren: w(k) := 1 falls k = ω, 0 sonst

(w : Ω→[0; 1], ω∈Ω)

Answer 1

P(Omega)->[0;1] sehe ich in diesem Wikipedia-Artikel gar nicht. Selbst, wenn ich dein P mal als 'delta z' lese.

Der Witz von einem Punktmass sollte wohl sein (wenn ich Wikipedia richtig verstehe), dass jedes Ereignis A, das den Punkt z enthält die 'Wahrscheinlichkeit' 1 hat, während alle andern Ereignisse die 'Wahrscheinlichkeit' 0 haben.

Da ist immer P(Omega) = 1, vorausgesetzt man hat überhaupt ein z.

Nachtrag: Vermutlich meinst du P(klein omega). Aber da hast du am Schluss nur Punktereignisse. Man muss aber für alle Ereignisse irgendeine Wahrscheinlichkeit (0 oder 1) definieren.

Comments

Vielen Dank erstmal für deine Antwort.

In meinen Kursunterlagen ist δ: P(Ω)->[0;1] während w: Ω->[0;1] definiert ist. In dem Wikipedia-Artikel steht da anstelle von P(Ω) (gemeint ist die Potenzmenge von Omega) das geschwungene Α und anstelle von w (für W-Funktion) steht bei Wikipedia p (Probability), ändert aber am Prinzip nix.

Was ich jetzt wissen will ist: Wieso wird bei dem Diracmaß mit einer Mengenfunktion hantiert, während bei allen anderen Wahrscheinlichkeitsmaßen (Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, Geometrische Verteilung, diskrete Gleichverteilung) das W-Maß angegeben wird als eine Funktion die jedem einzelnen Element von Ω seine Wahrscheinlichkeit zuordnet?

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Dann musst du wohl deine Unterlagen etwas abändern.

 δ: Ω -> {0;1} während w: Ω -> [0,1] 

Anonym unten meint da wohl einen andern Zuordnungspfeil (mit 'Aufstrich')

 δ: A |-> 0 oder 1 während w: kleinOmega |--> ein Element von [0,1] 

Das P hat dort nichts zu suchen. Zudem kommen als Resultate bei Delta nur die Werte 0 und 1 in Frage. Wie da jede einzelne Menge zu einem 0 oder 1 kommt, bestimmt das Delta_z

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In meinen Unterlagen steht das genauso wie bei Wikipedia!

δ ordnet eben nicht jedem Element von Ω eine Wahrscheinlichkeit zu, sondern jeder Teilmenge A von Ω. Wenn δ: Ω->[0;1] wäre müsste ich nicht fragen wieso es eben NICHT so ist ...

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https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_measure scheint mir verständlicher. Da muss man nicht über die Gestalt der Pfeile in der Definition diskutieren.

Ist nicht das Omega selbst schon eine Potenzmenge bei 'normalen' Wahrscheinlichkeitsverteilungen?