Diskriminante der quadratischen Gleichung

Question

Seien r, s zwei Zahlen.

(i) Drücken Sie die Diskriminante Δ der quadratischen Gleichung

(X-r)(X-s)=0

in Abhängigkeit von r, s aus.

(ii) Wie ändert sich die Diskriminante Δ der quadratischen Gleichung

aX^2 + bX + c=0,

wenn die Unbestimmte X durch rY - s ersetzt wird?

Answer 1

Zu (i)

Schreib doch erstmal die Gleichung hin und bestimme die Diskriminante. Dann siehst Du die Abhängigkeit sofort.

Zu (ii)

Eigentlich das gleiche wie oben.

Ein wenig bemühen solltest Du dich schon.

Comments

immer diese elenden klugscheisser die mit ihrem wissen geizen

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Willst Du lernen oder stänkern?

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ich habe versucht , werde aber durcheinander :(

Zu (i)

(X-r)(X-s) = 0

X^2 - sx - rx + rs = 0

X^2 + x(-s-r)+rs=0

D=  b^2 - 4ac ==> sr^2 - 4rs

Ist richtig ? nein oder ^^

zu (ii)

die Diskriminante ändert sich gar nicht wenn man die Unbestimmte X durch rY-s denn X spielt keine Rolle bei der Diskriminante oder  ?

aX^2+bX+c = 0

a(rY-s)^2 + b(rY-s)+c = 0

D = b^2 - 4ac , also hat nichts mit die unbestimmte X zu tun oder?

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Zu (i)

Ausmultipliziert hast Du ja richtig. Die Gleichung lautet

$$ x^2-(r+s)x+rs=0 $$

Damit hast Du für die Diskrininante

$$ (1) \quad D=b^2-4ac $$

mit \( a=1 \), \( b=-(r+s) \) und \( c=rs \)

Das ergibt eingesetzt in (1) \( D=r^2+2rs+s^2-4rs=r^2-2rs+s^2=(r-s)^2 \)

Zu (ii)

Du hast nach der Einsetzung folgende Gleichung

$$  a(ry-s)^2+b(ry-s)+c=0 $$

Das ausmultiplizieren und nach Potenzen von \( y \) ordnen, s.d. die Form

$$ a'y^2+b'y+c'=0 $$

entsteht. Dann ist die Diskriminante

$$ D'=b'^2-4a'c' $$

Die Größen a', b' und c' hängen von r und s ab.

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Das Ausmultiplizieren und nach Potenzen von y ordnen

a'y^2 + b'y + c' = 0 habe ich leider gar nicht verstanden , bzw. , wie kommst du drauf  ?

ya′y2+b′y+c′=0

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Multipliziere doch den Term \( a(ry-s)^2+b(ry-s)+c \) mal aus und klammere \( x^2 \) und \(x \) aus. Dann sehen wir weiter.

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a(ry-s)² + b(ry-s) + c ausmultipliziert ergibt ar²y² - (2ars + br)y + as² - bs + c. Ich denke mal dass du meintest y² und y ausklammern, ullim?

Das ergibt a' = ar², b' = 2ars + br, c' = as² - bs + c. Eingesetzt in b'² - 4a'c' erhalte ich dann 8abr²s + b²r² - 4acr².

Soweit richtig?

Leider verstehe ich nicht was ich mit diesem Ergebis anfangen kann und was das über die Änderung der Diskriminanten aussagt...

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Bei \( b' \) hat sich ein Fehler eingeschlichen. Rechne nochmal nach.

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Oh, das muss natürlich b' = -(2ars + br) heißen.

Das ergibt dann -8a²r²s² - b²r² - 4acr²

Jetzt alles richtig?

Das sagt mir allerdings genau so viel wie das andere Ergebnis... hilfe D:

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Da ist noch ein Fehler drin. Es muss \( ar^2y^2+(br-2ars)y+as^2-bs+c \) heissen.

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Wenn Du die Korrektur gemacht hast, siehst Du, das die neue Diskriminate außer von \( a \), \( b\) und \( c \) nur noch von \( r \) abhängt, aber nicht von \( s \), und sie lässt sich durch die ursprüngliche Diskriminante ausdrücken.

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Aaaaaah, Fehler gefunden und jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen! Vielen vielen Dank!