Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Falls Folge konvergiert, Grenzwert angeben.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Monotonie und Beschränktheit. Falls die Folge konvergiert, dann geben Sie ihren Grenzwert an.

(a) \( a_{n}=\frac{n^{2}+3}{(n+1)^{2}} \)

(b) \( a_{n}=1+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \)

(Hinweis zu (a): Es gibt ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \), ab dem sich das Monotonieverhalten der Folge ändert.)

Answer 1

Zu (a)

Betrachte die Folge \( a_n \) als eine Funktion der reellen Variablen \( x \) und bilde die erste Ableitung. Dort wo die erste Ableitung \( \ge 0 \) wird ist die Funktion monoton steigend.

Die Beschränktheit folgt aus \( \frac{n^2+3}{(n+1)^2}\le \frac{n^2+3}{n^2}=1+\frac{3}{n^2}\le 4 \)

Damit ist die Folge konvergent und konvergiert gegen 1, wie man durch kürzen durch \( n^2 \) leicht sieht.

Zu (b)

Wegen des Vorzeichenwechsel ist die Folge nicht monoton. Da der zweite Summand aber eine Nullfolge ist, konvergiert die Folge gegen \( 1 \)