Eigenschaften von Abbildungen zwischen endlichen Mengen.

Question

Sei f : M → N eine Abbildung endlicher Mengen. Zeigen Sie:

(a) Ist f injektiv, so gilt #M ≤ #N,

(b) ist f surjektiv, so gilt #M ≥ #N,

(c) ist f bijektiv, so gilt #M = #N.

Answer 1

Sei f : M → N eine Abbildung endlicher Mengen. Zeigen Sie:

(a) Ist f injektiv, so gilt #M ≤ #N,

Da f injektiv: Je zwei verschiedene Elemente von M haben 2 verschiedene Bilder. Je 3 haben 3 verschiedene Bilder in N. ==> Die m Elemente von M haben m verschiedene Bilder in N.

==> N hat mindestens m Elemente. q.e.d.

(b) ist f surjektiv, so gilt #M ≥ #N,

Da f surjektiv: Jedes Element von N hat mindestens ein Urbild in M. Daher müssen in M mindestens gleich viele Elemente vorhanden sein, wie in N.

(c) ist f bijektiv, so gilt #M = #N.

folgt direkt aus (a) und (b), da f als 'injektiv' und 'surjektiv' definiert ist.

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Ich bedanke mich für Ihre Mühe !