Surjektiv und injektiv. Übersetzung von deutsch auf mathematisch? Mächtigkeit von endlichen Mengen.

Question

Schwierigkeiten bei der Übersetzung von deutsch auf mathematisch/ stimmt die Aussage a)?

Seien X,Y endliche Mengen. Zeige:

a) es existiert genau dann eine injektive Abbildung g : X → Y, wenn gilt IXI ≤ IYI

b) es existiert genau dann eine surjektive Abbildung g : X → Y, wenn gilt IXI ≥ IYI

I Menge I steht für die Mächtigkeit bzw. Anzahl der Elemente oder?

zu a) wenn es mehr Funktionswerte als Argumente gibt, ist die logische Schlussfolgerung, dass nicht jeder Funktionswert erreicht wird, es sei denn jedem Argument werden mehrere Funktionswerte zugeschrieben. Ist jedem Funktionswert genau ein Argument zugeordnet, dann wäre die Abbildung injektiv. Ich verstehe aber nicht warum, unter diesen Bedingungen die Abbildung garantiert injektiv sein soll?

Falls die Mengen gleichmächtig sind, handelt es sich um eine Bijektion, also eine injektiv und surjektive Abbildung (gleiches gilt für b)).

zu b) Es gibt weniger/gleich viele Funktionswerte als Argumente, da jedem Argument mind. ein Funktionswert zugeschrieben ist, wird jeder Funktionswert mindestens einmal erreicht, also ist die Funktion nach Definition der Surjektivität f(x)=y surjektiv.

Ich habe Probleme den Beweis mathematisch korrekt wiederzugeben und bei der a) bin ich mir nicht sicher, dass die Aussage stimmt.

Ich habe mir wirklich Mühe gegeben, die Aufgabe zu lösen und es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen kann :)

Comments

Hat wirklich keiner Lust zu helfen?

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Bei a) geht es um die Existenz einer injektiven Abbildung. Es wird nicht behauptet, dass jede Abbildung injektiv sei.

Ich formuliere um:

a) Genau dann kann jeder Gast ein eigenes Zimmer bekommen, wenn hoechstens so viele Gaeste da sind wie Zimmer vorhanden sind.

b) Genau dann kann man alle Zimmer mit (wenigstens) einem Gast belegen, wenn mindestens so viele Gaeste gekommen sind wie es Zimmer gibt.

Noch Fragen? :)

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Hilfe bei der mathematische Formulierung wäre sehr schön :)

Answer 1

Falls die Mengen gleichmächtig sind, handelt es sich um eine Bijektion, also eine injektiv und surjektive Abbildung (gleiches gilt für b)).

Es ist dann nicht jede Abbildung eine Bijektion, sondern ES GIBT dann Bijektionen.

Hilfe bei der mathematische Formulierung wäre sehr schön :)

zu a) weil die Mengen endlich sind, kannst du so vorgehen:

wähle ein Element x1 von X und ordne ihm ein Element y1 von Y zu.

wähle dann ein Element aus X \ {x1} und ordnen ihm ein Element aus Y \ {y1} zu

wähle dann ein Element aus X \ {x1;x2} und ordnen ihm ein Element aus Y \ {y1;y2}

etc.

Diesen Prozess kannst du fortsetzen bis allen Elementen von X nach n=|X|  Schritten

ein Element aus Y zugeordnet ist. Der Prozess bricht nicht etwa vorher ab, weil

in Y mindestens so viele Elemente wie in X sind.